(Unicamp-2001) Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes
b) Qual será a área de/cada um dos quadrados formados?

Passo 1

Resumindo: temos um fio de comprimento 48,cm que é dividido em duas partes para formar dois quadrados. Sabemos que a área de um quadrado é quatro vezes a área do outro. O que precisamos usar: relação entre comprimento de fio e perímetro de quadrado, e fórmula da área de um quadrado.

Passo 2

Vamos chamar de x o comprimento (em cm) de uma das partes, e de 48 - x o da outra. Cada parte vira o perímetro de um quadrado, então os lados são
\ell_1 = \frac{x}{4}, \quad \ell_2 = \frac{48 - x}{4}.
As áreas são
A_1 = \bigl(\ell_1\bigr)^2 = \Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{2}, \quad A_2 = \bigl(\ell_2\bigr)^2 = \Bigl(\frac{48 - x}{4}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Como a área de um é quatro vezes a do outro, podemos supor sem perda de generalidade que
A_1 = 4\,A_2.
Substituindo as fórmulas:
\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{2} = 4 \;\Bigl(\frac{48 - x}{4}\Bigr)^{2}.
Isso dá
\frac{x^{2}}{16} = 4 \,\frac{(48 - x)^{2}}{16} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 4\,(48 - x)^{2}.

Passo 4

Resolvendo x^{2} = 4\,(48 - x)^{2}:
x^{2} = 4\,(48 - x)^{2} \;\Longrightarrow\; x = 2\,(48 - x) \;\Longrightarrow\; x = 96 - 2x \;\Longrightarrow\; 3x = 96 \;\Longrightarrow\; x = 32.
Como x tem de ser positivo e menor que 48, descartamos a raiz negativa. Logo, as partes do fio medem 32,cm e 48 - 32 = 16,cm.

Passo 5

Agora as áreas dos quadrados são
A_1 = \Bigl(\frac{32}{4}\Bigr)^{2} = 8^{2} = 64\quad\text{(cm}^{2}\text{)},
A_2 = \Bigl(\frac{16}{4}\Bigr)^{2} = 4^{2} = 16\quad\text{(cm}^{2}\text{)}.
Note que 64 = 4\times16, confirmando a condição do enunciado.

Resposta

a) As duas partes medem 32,cm e 16,cm.
b) As áreas dos quadrados são 64,cm ^2 e 16,cm ^2.

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