(Unicamp-2004) O quadrilátero convexo A B C D, cujos lados medem, consecutivamente, 1 , 3,4 e 6 cm , está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. Calcule o raio R da circunferência.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero convexo ABCD inscrito numa circunferência de raio R, cujos lados medem, em ordem,
AB=1,\quad BC=3,\quad CD=4,\quad DA=6.
O objetivo é calcular R. Vamos usar que em quadrilátero cíclico \angle ABC+\angle ADC=180^\circ, aplicar a Lei dos Cossenos em \triangle ABC e em \triangle ADC para encontrar a diagonal AC, depois obter a área de \triangle ABC e, finalmente, usar a fórmula do raio do circuncírculo de um triângulo.

Passo 2

Seja AC=d e denote \theta=\angle ABC.
Em \triangle ABC, pela Lei dos Cossenos:
d^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cos\theta = 1^2 + 3^2 -2\cdot1\cdot3\cos\theta =10 -6\cos\theta.
Em \triangle ADC, como \angle ADC=180^\circ-\theta e \cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta, temos
d^2 = AD^2 + DC^2 -2\cdot AD\cdot DC\cos(180^\circ-\theta) =6^2+4^2 -2\cdot6\cdot4\,(-\cos\theta) =52 +48\cos\theta.
Igualando as duas expressões para d^2:
10 -6\cos\theta = 52 +48\cos\theta \;\Longrightarrow\; -54\cos\theta = 42 \;\Longrightarrow\; \cos\theta = -\tfrac{7}{9}.
Logo
d^2 = 10 -6\bigl(-\tfrac{7}{9}\bigr) =10 + \tfrac{42}{9} = \tfrac{132}{9} = \tfrac{44}{3},
portanto
AC = d = \sqrt{\tfrac{44}{3}}.

Passo 3

Para usar a fórmula do raio precisaremos da área de \triangle ABC. Podemos escrever
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1 - \bigl(-\tfrac{7}{9}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{32}{81}} = \tfrac{4\sqrt2}{9}.
A área é
\mathcal{A}_{ABC} = \tfrac12\,(AB)(BC)\,\sin\theta = \tfrac12\cdot1\cdot3\cdot\tfrac{4\sqrt2}{9} = \tfrac{2\sqrt2}{3}.

Passo 4

A fórmula do raio do circuncírculo de um triângulo com lados a,b,c e área \mathcal{A} é
R = \frac{a\,b\,c}{4\,\mathcal{A}}.
No nosso caso a=AB=1, b=BC=3, c=AC=\sqrt{\tfrac{44}{3}} e \mathcal{A}=\tfrac{2\sqrt2}{3}. Assim,
R = \frac{1\cdot3\cdot\sqrt{\tfrac{44}{3}}}{4\cdot\bigl(\tfrac{2\sqrt2}{3}\bigr)} = \frac{3\sqrt{\tfrac{44}{3}}}{\tfrac{8\sqrt2}{3}} = \frac{9\sqrt{\tfrac{44}{3}}}{8\sqrt2} = \frac{9}{8}\,\sqrt{\frac{44}{3}\cdot\frac{1}{2}} = \frac{9}{8}\sqrt{\frac{22}{3}} = \frac{3\sqrt{66}}{8}.

Resposta

R = \frac{3\sqrt{66}}{8}.

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