(Unicamp-2004) O quadrilátero convexo
, cujos lados medem, consecutivamente, 1 , 3,4 e 6 cm , está inscrito em uma circunferência de centro
e raio
. Calcule o raio
da circunferência.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero convexo
inscrito numa circunferência de raio
, cujos lados medem, em ordem,
O objetivo é calcular
. Vamos usar que em quadrilátero cíclico
, aplicar a Lei dos Cossenos em
e em
para encontrar a diagonal
, depois obter a área de
e, finalmente, usar a fórmula do raio do circuncírculo de um triângulo.
Passo 2
Seja
e denote
.
Em , pela Lei dos Cossenos:
Em
Em
, como
e
, temos
Igualando as duas expressões para
:
Logo
portanto
Passo 3
Para usar a fórmula do raio precisaremos da área de
. Podemos escrever
A área é
Passo 4
A fórmula do raio do circuncírculo de um triângulo com lados
e área
é
No nosso caso
,
,
e
. Assim,