(Unicamp-93) Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+z+w=1 \\\ x+2 y+z+w=2 \\\ x+y+2 z+w=3 \\\ x+y+z+2 w=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear 4\times 4 em (x,y,z,w):
\begin{cases} 2x + y + z + w = 1,\\\ x + 2y + z + w = 2,\\\ x + y + 2z + w = 3,\\\ x + y + z + 2w = 4. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares; vamos usar a soma das equações para simplificar.

Passo 2

Somando todas as quatro equações, obtemos
(2x+x+x+x)+(y+2y+y+y)+(z+z+2z+z)+(w+w+w+2w) =1+2+3+4.
O lado esquerdo é 5(x+y+z+w) e o direito é 10, logo
5(x+y+z+w)=10\quad\Longrightarrow\quad x+y+z+w=2.

Passo 3

Em cada equação original aparece o termo x+y+z+w. Por exemplo, na primeira:
2x+y+z+w = (x+y+z+w) + x = 1
substituindo x+y+z+w=2 vem 2 + x = 1, assim x=-1. Analogamente:
x+2y+z+w = (x+y+z+w)+y = 2+y = 2 \implies y=0,
x+y+2z+w = 2+z = 3 \implies z=1,
x+y+z+2w = 2+w = 4 \implies w=2.

Resposta

x=-1 y=0 z=1 w=2

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