(Fuvest-15) No sistema linear \left\{\begin{array}{l}a x-y=1 \\\ y+z=1 \\\ x+z=m\end{array}\right. nas variáveis x. y e z. a e m são constante reais. É correto afirmar:
a) No caso cm que \mathrm{a}=1,0 sistema tem solução se. e somente se, m=2.
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
c) No caso em que m=2, o sistema ten solução se, e somente se, a =1.
d) O sistema só tem solução se a=m=1.
e) O sistema nào tem solução, quaisquer que sejam os valores de a c de m.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear com parâmetros a\) e \(m\):
\[\begin{cases} a x - y = 1,\\\ y + z = 1,\\\ x + z = m. \end{cases}
O objetivo é determinar para quais valores de a\] e \(m o sistema é compatível. Vamos usar eliminação e discutir separadamente o caso a \neq 1 e o caso a = 1.
Passo 2
Da primeira equação isolamos y:
y = a\,x - 1.
Da segunda equação isolamos z:
z = 1 - y = 1 - (a\,x - 1) = 2 - a\,x.
Substituímos essas expressões em x+z=m.
Passo 3
Ao substituir em x+z=m obtemos
x + (2 - a\,x) = m \quad\Longrightarrow\quad (1 - a)\,x + 2 = m \quad\Longrightarrow\quad (1 - a)\,x = m - 2.
Se a \neq 1, podemos dividir e achar
x = \frac{m - 2}{1 - a},
e então y e z também ficam bem definidos para qualquer m. Logo, para a\neq 1 há sempre solução única, sem restrição em m.
Passo 4
Se a = 1, o coeficiente de x na última equação vira zero e ela fica
0\cdot x + 2 = m \quad\Longrightarrow\quad 2 = m.
Para m=2 as duas primeiras equações definem infinitas soluções (y=x-1, z=2-x), mas ao menos existe solução. Para m\neq 2 não há solução.
Passo 5
Resumindo:
– Se a\neq 1, o sistema é sempre compatível (qualquer m).
– Se a=1, o sistema é compatível se, e somente se, m=2.
Isso coincide exatamente com a alternativa (a).
Resposta
(a)
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 5