Use o algoritmo de Briot-Ruffini para encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) que resulta da divisão de p(x) por s(x).
(a) p(x)=2 x^{3}-x^{2}-2 x+1 ; s(x)=x-1
(b) p(x)=2 x^{4}+3 x^{3}-17 x^{2}-27 x-9 ; s(x)=x+4
(c) p(x)=x^{7}+1 ; s(x)=x-1

Passo 1

O problema pede que, para cada polinômio p(x) e divisor linear s(x), apliquemos o algoritmo de Briot-Ruffini (divisão sintética) para obter o quociente q(x) e o resto r(x). Vamos usar a versão sintética onde, para dividir por x - a, tomamos a e os coeficientes de p(x), fazemos somas e multiplicações sucessivas e extraímos, ao final, os coeficientes de q(x) e o último valor como resto.

Passo 2

Método de Briot-Ruffini para dividir p(x) por x - a:
  1. Liste os coeficientes de p(x) em ordem decrescente de grau.
  2. Traga para baixo o primeiro coeficiente; ele será o coeficiente líder de q(x).
  3. Multiplique esse valor por a e some ao próximo coeficiente de p(x); o resultado vai para baixo, sendo o próximo coeficiente de q(x).
  4. Repita o passo 3 até processar todos os coeficientes de p(x).
  5. O último valor obtido é o resto r; os valores anteriores são, em ordem, os coeficientes de q(x).

Passo 3

Caso (a): p(x)=2x^{3}-x^{2}-2x+1, s(x)=x-1. Aqui a=1.
Coeficientes de p: 2,\,-1,\,-2,\,1. Tabela sintética:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -2 & 1\\hline & & 2 & 1 & -1\\hline & 2 & 1 & -1 & 0 \end{array}
Interpretação: os números na última linha, exceto o último, são coeficientes de q(x); o último é r. Logo,
q(x)=2x^{2}+1x-1,\quad r=0.

Passo 4

Caso (b): p(x)=2x^{4}+3x^{3}-17x^{2}-27x-9, s(x)=x+4. Aqui a=-4.
Coeficientes de p: 2,\,3,\,-17,\,-27,\,-9. Tabela sintética:
\begin{array}{r|ccccc} -4 & 2 & 3 & -17 & -27 & -9\\hline & & -8 & 20 & -12 & 156\\hline & 2 & -5 & 3 & -39 & 147 \end{array}
Assim,
q(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x-39,\quad r=147.

Passo 5

Caso (c): p(x)=x^{7}+1, s(x)=x-1. Aqui a=1.
Coeficientes de p: 1,0,0,0,0,0,0,1. Tabela sintética:
\begin{array}{r|cccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\hline & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}
Daí,
q(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,\quad r=2.

Resposta

(a) q(x)=2x^{2}+x-1,\;r=0.
(b) q(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x-39,\;r=147.
(c) q(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,\;r=2.

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