Use a eliminação de Gauss para determinar todas as soluções para o sistema de equações dado.
-x+2 y=4
2 x-7 y=-3

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} -\,x + 2y = 4,\\\\ 2x - 7y = -3. \end{cases}
Vamos usar eliminação de Gauss para transformá-lo numa forma triangular e, em seguida, resolver por substituição.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada do sistema:
\left[\begin{array}{cc|c} -1 & 2 & 4\\\\ 2 & -7 & -3 \end{array}\right].
Para facilitar a eliminação, multiplicamos a primeira linha por -1, obtendo um pivô 1 na posição (1,1):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & -4\\\\ 2 & -7 & -3 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos o x da segunda linha usando a primeira:
Linha2 \leftarrow Linha2 -2 \times Linha1.
Isso dá
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & -4\\\\ 0 & -3 & 5 \end{array}\right].

Passo 4

Agora temos o sistema equivalente triangular:
\begin{cases} x - 2y = -4,\\\\ -3y = 5. \end{cases}
Da segunda equação segue
y = -\frac{5}{3}.
Substituindo em x - 2y = -4:
x - 2\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) = -4 \quad\Longrightarrow\quad x + \tfrac{10}{3} = -4 \quad\Longrightarrow\quad x = -4 - \tfrac{10}{3} = -\tfrac{22}{3}.

Resposta

(x,y) = \bigl(-\tfrac{22}{3},\,-\tfrac{5}{3}\bigr).

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