Use a indução matemática para mostrar que 1 \cdot 2^{0}+2 \cdot 2^{1} +3 \cdot 2^{2}+\cdots+n \cdot 2^{n-1}=(n-1) \cdot 2^{n}+1 sempre que n for um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo inteiro positivo n vale
1\cdot2^{0}+2\cdot2^{1}+3\cdot2^{2}+\cdots+n\cdot2^{n-1} \;=\;(n-1)\cdot2^{n}+1.
O conteúdo é o princípio de indução: mostraremos o caso base e, em seguida, a passagem de n para n+1.

Passo 2

Caso base (n=1). À esquerda temos
1\cdot2^{0}=1,
e à direita
(1-1)\cdot2^{1}+1 = 0\cdot2 + 1 = 1.
Logo a fórmula é verdadeira para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum n\ge1, isto é, suponha a hipótese de indução
1\cdot2^{0}+2\cdot2^{1}+\cdots+n\cdot2^{n-1} = (n-1)\cdot2^{n}+1.

Passo 4

Agora consideramos o caso n+1. A soma até n+1 é
1\cdot2^{0}+2\cdot2^{1}+\cdots+n\cdot2^{n-1} + (n+1)\cdot2^{n}.
Pela hipótese de indução, isso vale
(n-1)\cdot2^{n}+1 \;+\;(n+1)\cdot2^{n} = \bigl[(n-1)+(n+1)\bigr]2^{n} + 1 = 2n\cdot2^{n} + 1 = n\cdot2^{n+1} + 1.
Reescrevendo n\cdot2^{n+1}+1 = \bigl((n+1)-1\bigr)\cdot2^{\,n+1}+1, vemos que o padrão se mantém para n+1.

Passo 5

Concluímos que, tendo o caso base e a passagem de n para n+1, a fórmula vale para todo inteiro positivo n.

Resposta

A equação
1\cdot2^{0}+2\cdot2^{1}+\cdots+n\cdot2^{n-1} = (n-1)\cdot2^{n}+1
é verdadeira para todo n\in\mathbb{Z}^+ por indução matemática.

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