Use a indução matemática para mostrar que
sempre que
for um número inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo inteiro positivo
vale
O conteúdo é o princípio de indução: mostraremos o caso base e, em seguida, a passagem de
para
.
Passo 2
Caso base
. À esquerda temos
e à direita
Logo a fórmula é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum
, isto é, suponha a hipótese de indução
Passo 4
Agora consideramos o caso
. A soma até
é
Pela hipótese de indução, isso vale
Reescrevendo
, vemos que o padrão se mantém para
.
Passo 5
Concluímos que, tendo o caso base e a passagem de
para
, a fórmula vale para todo inteiro positivo
.
Resposta
A equação
é verdadeira para todo
por indução matemática.