Use a regra da cadeia para determinar a derivada dz/dt. Expresse a resposta em termos de x, y e t.
z=x^{2} y ; x=3 t+1 ; y=t^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada \frac{dz}{dt} da função de duas variáveis z(x,y)=x^2y, onde x e y dependem de t por
x=3t+1,\qquad y=t^2-1.
Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Como z=x^2y, temos
\frac{\partial z}{\partial x}=2xy,
\frac{\partial z}{\partial y}=x^2.

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a t.
De x=3t+1 vem
\frac{dx}{dt}=3,
e de y=t^2-1 vem
\frac{dy}{dt}=2t.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo os valores encontrados:
\frac{dz}{dt}=(2xy)\cdot3+(x^2)\cdot(2t) =6xy+2t\,x^2.

Resposta

\frac{dz}{dt}=6xy+2t\,x^2.

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