Use séries de potências para calcular, com a precisão exigida, o valor da quantidade dada.
senh \frac{1}{2}; cinco casas decimais

Passo 1

O enunciado pede calcular \operatorname{sinh}\bigl(\tfrac12\bigr) com cinco casas decimais usando séries de potências. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências de \operatorname{sinh} x e o controle do erro de truncamento.

Passo 2

A série de potências para \operatorname{sinh} x é
\operatorname{sinh} x \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Para x=\tfrac12, cada termo vale
T_n \;=\;\frac{(1/2)^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Vamos calcular os primeiros termos até que sejam menores que 10^{-5}:
T_0 = \frac{(1/2)^1}{1!} = 0,5,
T_1 = \frac{(1/2)^3}{3!} = \frac{1/8}{6} = 0,0208333333,
T_2 = \frac{(1/2)^5}{5!} = \frac{1/32}{120} = 0,0002604167,
T_3 = \frac{(1/2)^7}{7!} = \frac{1/128}{5040}\approx0,0000015501,
T_4 \approx 5{,}4\times10^{-9}.

Passo 4

Para garantir erro de truncamento menor que 10^{-5}, basta parar em T_2, pois o termo seguinte T_3<10^{-5} e os termos decrescem. De fato, o resto
R \;\le\; \frac{T_3}{1 - T_3/T_2}\approx1{,}56\times10^{-6}<10^{-5}.

Passo 5

Somando até T_3 para maior precisão:
S = T_0+T_1+T_2+T_3 \approx 0,5 + 0,0208333333 + 0,0002604167 + 0,0000015501 = 0,5210953001.
Arredondando para cinco casas decimais, temos

Resposta

0,52110

Exercícios de Livros Relacionados