Use séries de potências para calcular, com a precisão exigida, o valor da quantidade dada.
\sqrt[5]{30}; cinco casas decimais

Passo 1

O enunciado pede para calcular com cinco casas decimais o valor de \sqrt[5]{30}. O conteúdo envolvido é o uso de séries de potências, em particular a expansão binomial para expoentes não inteiros. Vamos aproximar \sqrt[5]{30} a partir de um ponto em que conhecemos a raiz exatamente e usar a série para refinar a estimativa.

Passo 2

Escrevemos
\sqrt[5]{30} \;=\;\sqrt[5]{32\bigl(1-\tfrac1{16}\bigr)} \;=\;2\;\bigl(1-\tfrac1{16}\bigr)^{\tfrac15}.
Aqui usamos que \sqrt[5]{32}=2 e definimos
\alpha = \tfrac15,\quad x = -\tfrac1{16},
de modo que precisamos expandir (1+x)^\alpha.

Passo 3

A série binomial para \alpha\in\mathbb{R} é
(1+x)^\alpha \;=\;\sum_{k=0}^{\infty} {\alpha\choose k}\,x^k, \quad {\alpha\choose k} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
Vamos calcular os termos até k=5, pois queremos garantir erro abaixo de 10^{-5}.

Passo 4

Calculamos T_k = {\alpha\choose k}x^k para k=0,1,\dots,5: T_0 = 1. T_1 = \alpha\,x = \tfrac15\cdot(-\tfrac1{16}) = -0,0125. T_2 = \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}\,x^2 = \dfrac{\tfrac15(\tfrac15-1)}{2}\,( -\tfrac1{16})^2 = -0,0003125. T_3 = \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}\,x^3 = -0,00001171875. T_4 = \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{4!}\,x^4 \approx -0,0000005129. T_5 = \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)(\alpha-4)}{5!}\,x^5 \approx -0,0000000243
(este último termo dá ideia da ordem de erro se pararmos em k=4).

Passo 5

Somando até T_4 obtenho
S_4 = \sum_{k=0}^4 T_k = 1 - 0,0125 - 0,0003125 - 0,00001171875 - 0,0000005129 \approx 0,9871752684.
Multiplicando por 2,
2\,S_4 \approx 1,9743505368.
O termo T_5 vale cerca de -2{,}4\times10^{-8}, e ao dobrá-lo temos erro de ordem 10^{-7}, insuficiente para alterar as cinco primeiras casas decimais. Assim, arredondando a cinco casas,

Resposta

\sqrt[5]{30}\approx1,97435

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