[03] (a) Use o teorema da função implícita para demonstrar que a equação x^3 y^3-x-y+1=0 define y como uma função f de x em uma vizinhança do ponto p=(1,1).
(b) Use o teorema da função implícita para calcular f^prime(1).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
F(x,y)=x^3y^3-x-y+1=0
e pede (a) mostrar que existe uma função y=f(x) definida numa vizinhança de (1,1) e (b) calcular f'(1). Para isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que exige verificar
  1. F(1,1)=0.
  2. partial Fpartial y(1,1)neq0.

Passo 2

Primeiro calculamos
F(1,1)=1^3cdot1^3-1-1+1=1-1-1+1=0
Em seguida obtemos
partial Fpartial y(x,y)=3x^3y^2-1,
logo em (1,1)
partial Fpartial y(1,1)=3cdot1^3cdot1^2-1=3-1=2neq0
Pelo Teorema da Função Implícita, existe, de fato, uma função y=f(x) tal que F(x,f(x))=0 em torno de x=1.

Passo 3

O Teorema da Função Implícita também garante que
f'(x)=-Fx(x,f(x))Fy(x,f(x)),
onde
Fx(x,y)=partial Fpartial x(x,y)=3x^2y^3-1
e
Fy(x,y)=3x^3y^2-1

Passo 4

Avaliamo-los em (1,1):
Fx(1,1)=3cdot1^2cdot1^3-1=3-1=2, Fy(1,1)=2
Portanto
f'(1)=-Fx(1,1)Fy(1,1)=-22=-1

Resposta

(a) Em torno de (1,1) existe uma função y=f(x) definida pela equação x^3y^3-x-y+1=0, pois F(1,1)=0 e partial F/partial y(1,1)=2neq0.
(b) f'(1)=-1.

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