[03] (a) Use o teorema da função implícita para demonstrar que a equação
define
como uma função
de
em uma vizinhança do ponto
.
(b) Use o teorema da função implícita para calcular
.
(b) Use o teorema da função implícita para calcular
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede (a) mostrar que existe uma função
definida numa vizinhança de
e (b) calcular
. Para isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que exige verificar
-
. -
.
Passo 2
Primeiro calculamos
Em seguida obtemos
logo em
Pelo Teorema da Função Implícita, existe, de fato, uma função
tal que
em torno de
.
Passo 3
O Teorema da Função Implícita também garante que
onde
e
Passo 4
Avaliamo-los em
:
Portanto
Resposta
(a) Em torno de
existe uma função
definida pela equação
, pois
e
.
(b) .
(b)