Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos relativos da função.
h(t)=\frac{2}{1+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da derivada segunda à função
h(t)=\frac{2}{1+t^{2}}
para determinar os pontos críticos e classificar se são máximos ou mínimos relativos. O conteúdo necessário é derivação de quociente (ou de potência) e cálculo da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada de
h(t)=2\,(1+t^{2})^{-1}.
Usando a regra da cadeia e do produto:
h'(t)=2\cdot(-1)\,(1+t^{2})^{-2}\cdot 2t =-\frac{4t}{(1+t^{2})^{2}}.
Os pontos críticos satisfazem h'(t)=0. Como o denominador nunca anula, basta
-4t=0\quad\Longrightarrow\quad t=0.

Passo 3

Agora achamos a segunda derivada. Partimos de
h'(t)=-4t\,(1+t^{2})^{-2}
e aplicamos a regra do produto:
h''(t) =-4\,(1+t^{2})^{-2} +(-4t)\,\bigl(-2\,(1+t^{2})^{-3}\cdot 2t\bigr).
Simplificando,
h''(t) =-\frac{4}{(1+t^{2})^{2}}+\frac{16t^{2}}{(1+t^{2})^{3}} =\frac{-4(1+t^{2})+16t^{2}}{(1+t^{2})^{3}} =\frac{4(-1+3t^{2})}{(1+t^{2})^{3}}.

Passo 4

Para classificar o ponto crítico t=0, avaliamos
h''(0) =\frac{4(-1+3\cdot 0^{2})}{(1+0^{2})^{3}} =\frac{4(-1)}{1} =-4<0.
Como h''(0)<0, o ponto t=0 é um máximo relativo.

Resposta

A função h(t) tem um único ponto crítico em t=0, que é um máximo relativo com valor
h(0)=\frac{2}{1+0^{2}}=2.
Não há mínimos relativos.

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