Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos relativos da função.
f(x)=2 x+1+\frac{18}{x}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da derivada segunda e determinar os extremos relativos de
f(x)=2x+1+\frac{18}{x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas, identificação de pontos críticos (onde f'(x)=0) e aplicação do teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo relativo.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira e encontramos os pontos críticos.
A derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(2x+1+18x^{-1}\Bigr) =2-18x^{-2}.
Para pontos críticos, impomos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad 2-18x^{-2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2=\frac{18}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2=9 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm3.

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda para aplicar o teste:
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(2-18x^{-2}\Bigr) =36x^{-3} =\frac{36}{x^3}.
Para x=3:
f''(3)=\frac{36}{3^3}=\frac{36}{27}=\frac{4}{3}>0,
logo x=3 é ponto de mínimo relativo.
Para x=-3:
f''(-3)=\frac{36}{(-3)^3}=\frac{36}{-27}=-\frac{4}{3}<0,
logo x=-3 é ponto de máximo relativo.

Passo 4

Faltam os valores de f nesses pontos:
f(3)=2\cdot3+1+\frac{18}{3}=6+1+6=13,
f(-3)=2\cdot(-3)+1+\frac{18}{-3}=-6+1-6=-11.

Resposta

Máximo relativo em x=-3 com f(-3)=-11.
Mínimo relativo em x=3 com f(3)=13.

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