Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos relativos da função.
f(x)=\left(x^{2}-9\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da derivada segunda e determinar os máximos e mínimos relativos da função
f(x)=\bigl(x^{2}-9\bigr)^{2}.
O que vamos precisar é: 1) encontrar a derivada primeira f'(x) e achar os pontos críticos onde f'(x)=0; 2) calcular a derivada segunda f''(x); 3) avaliar f'' nesses pontos críticos para classificar em máximos (se f''<0) ou mínimos (se f''>0).

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, derivamos
f(x)=\bigl(x^{2}-9\bigr)^{2}
usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos
f'(x)=2\bigl(x^{2}-9\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-9\bigr) =2\bigl(x^{2}-9\bigr)\cdot(2x) =4x\,(x^{2}-9).
Logo, os pontos críticos satisfazem
f'(x)=4x\,(x^{2}-9)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}-9=0\;\Rightarrow\;x=\pm3.

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda. Podemos derivar f'(x)=4x^{3}-36x diretamente:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-36x\bigr) =12x^{2}-36 =12\,(x^{2}-3).

Passo 4

Aplicamos o teste da derivada segunda em cada ponto crítico:
Em x=0:
f''(0)=12\,(0^{2}-3)=12\cdot(-3)=-36<0,
logo f tem um máximo relativo em x=0.
Em x=3:
f''(3)=12\,(3^{2}-3)=12\cdot6=72>0,
logo f tem um mínimo relativo em x=3.
Em x=-3:
f''(-3)=12\bigl((-3)^{2}-3\bigr)=12\cdot6=72>0,
logo f tem um mínimo relativo em x=-3.

Passo 5

Para ficar completo, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=(0^{2}-9)^{2}=81, \qquad f(\pm3)=\bigl(9-9\bigr)^{2}=0.

Resposta

Máximo relativo em x=0 com f(0)=81.
Mínimos relativos em x=-3 e x=3, ambos com f(\pm3)=0.

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