Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos relativos da função.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da derivada segunda e determinar os máximos e mínimos relativos da função
O que vamos precisar é: 1) encontrar a derivada primeira
e achar os pontos críticos onde
; 2) calcular a derivada segunda
; 3) avaliar
nesses pontos críticos para classificar em máximos (se
) ou mínimos (se
).
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, derivamos
usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos
Logo, os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Agora calculamos a derivada segunda. Podemos derivar
diretamente:
Passo 4
Aplicamos o teste da derivada segunda em cada ponto crítico:
Em
:
logo
tem um máximo relativo em
.
Em
:
logo
tem um mínimo relativo em
.
Em
:
logo
tem um mínimo relativo em
.
Passo 5
Para ficar completo, calculamos os valores de
nesses pontos:
Resposta
Máximo relativo em
com
.
Mínimos relativos em e
, ambos com
.
Mínimos relativos em