Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
f(x)=\left(x^{2}-3\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função
f(x) = \bigl(x^{2}-3\bigr)^{3}
e determinar
\bullet em que intervalos f é crescente ou decrescente,
\bullet em que intervalos f é côncava para cima ou para baixo,
\bullet onde estão os extremos relativos e os pontos de inflexão,
além de esboçar qualitativamente o gráfico.
Conteúdos: derivada primeira para monotonicidade, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira usando a regra da cadeia. Seja u(x)=x^{2}-3, então f(x)=u(x)^{3}. Temos
u'(x)=2x, \qquad f'(x)=3\,u(x)^{2}\,u'(x)=3\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}\cdot 2x=6x\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
6x\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x^{2}-3=0\;\Rightarrow\;x=\pm\sqrt{3}.
Analisando o sinal de f'(x) em cada intervalo:
– Em (-\infty,0): x<0 e (x^{2}-3)^{2}>0 \Rightarrow f'(x)<0 (decrescente).
– Em (0,\infty): x>0 e (x^{2}-3)^{2}>0 \Rightarrow f'(x)>0 (crescente).
Logo, f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty).
Em x=\pm\sqrt{3} a derivada muda de sinal? Como o fator (x^{2}-3)^{2} é de multiplicidade 2, não há troca de sinal em \pm\sqrt{3}; são pontos de platô mas não extremos.

Passo 4

Agora a derivada segunda:
f'(x)=6x\,(x^{2}-3)^{2} \;\Longrightarrow\; f''(x)=6\,(x^{2}-3)^{2}+6x\cdot 2\,(x^{2}-3)\cdot 2x =6\,(x^{2}-3)\bigl[(x^{2}-3)+4x^{2}\bigr]
f''(x)=6\,(x^{2}-3)\,(5x^{2}-3).

Passo 5

Os zeros de f'' ocorrem em x^{2}-3=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{3} e em 5x^{2}-3=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}. Testando o sinal de f'' em cada região, conclui-se:
– Concavidade para cima ( f''>0) em
(-\infty,-\sqrt{3}), \bigl(-\sqrt{\tfrac{3}{5}},\sqrt{\tfrac{3}{5}}\bigr) e (\sqrt{3},\infty).
– Concavidade para baixo ( f''<0) em
(-\sqrt{3},-\sqrt{\tfrac{3}{5}}) e (\sqrt{\tfrac{3}{5}},\sqrt{3}).
Os pontos de inflexão são onde f'' muda de sinal, ou seja, em
x=\pm\sqrt{3} \quad\text{e}\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}.

Passo 6

Coordenadas de extremos e inflexões:
– Extremo relativo em x=0, pois f' muda de negativo para positivo.
f(0)=(-3)^{3}=-27,
é um mínimo local.
– Pontos de inflexão e suas alturas:
f\bigl(\pm\sqrt{3}\bigr)=0^{3}=0, \qquad f\Bigl(\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{3}{5}-3\Bigr)^{3} =\Bigl(-\tfrac{12}{5}\Bigr)^{3} =-\tfrac{1728}{125}.

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico:
\bullet A função é par ( f(-x)=f(x)), simétrica em relação ao eixo y.
\bullet Decresce até x=0, atinge mínimo em (0,-27), e cresce depois.
\bullet Corta o eixo x em \pm\sqrt{3}.
\bullet Tem pontos de inflexão em \pm\sqrt{3} (mudança de concavidade para cima) e em \pm\sqrt{3/5} (mudança para cima/baixo conforme sinal).
\bullet Para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty por ser potência ímpar com base quadrática.

Resposta

Intervalos de monotonicidade:
decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,\infty).
Pontos críticos:
mínimo local em (0,-27).
Intervalos de concavidade:
côncava para cima em (-\infty,-\sqrt{3}), \bigl(-\sqrt{\tfrac{3}{5}},\sqrt{\tfrac{3}{5}}\bigr), (\sqrt{3},\infty);
côncava para baixo em (-\sqrt{3},-\sqrt{\tfrac{3}{5}}), (\sqrt{\tfrac{3}{5}},\sqrt{3}).
Pontos de inflexão:
\bigl(-\sqrt{3},0\bigr), \bigl(-\sqrt{\tfrac{3}{5}},-\tfrac{1728}{125}\bigr),
\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{5}},-\tfrac{1728}{125}\bigr), \bigl(\sqrt{3},0\bigr).
Esboço: curva em “W” suavizado, simétrica, mínimo em (0,-27), passa por (\pm\sqrt{3},0) e inflexões em \pm\sqrt{3/5},\pm\sqrt{3}.

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