Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a função
e determinar
em que intervalos
é crescente ou decrescente,
em que intervalos
é côncava para cima ou para baixo,
onde estão os extremos relativos e os pontos de inflexão,
além de esboçar qualitativamente o gráfico.
Conteúdos: derivada primeira para monotonicidade, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
além de esboçar qualitativamente o gráfico.
Conteúdos: derivada primeira para monotonicidade, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira usando a regra da cadeia. Seja
, então
. Temos
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Analisando o sinal de
em cada intervalo:
– Em :
e
(decrescente).
– Em :
e
(crescente).
Logo, é decrescente em
e crescente em
.
Em a derivada muda de sinal? Como o fator
é de multiplicidade
, não há troca de sinal em
; são pontos de platô mas não extremos.
– Em
– Em
Logo,
Em
Passo 4
Agora a derivada segunda:
Passo 5
Os zeros de
ocorrem em
e em
. Testando o sinal de
em cada região, conclui-se:
– Concavidade para cima ( ) em
,
e
.
– Concavidade para baixo ( ) em
e
.
Os pontos de inflexão são onde muda de sinal, ou seja, em
– Concavidade para cima (
– Concavidade para baixo (
Os pontos de inflexão são onde
Passo 6
Coordenadas de extremos e inflexões:
– Extremo relativo em , pois
muda de negativo para positivo.
– Extremo relativo em
é um mínimo local.
– Pontos de inflexão e suas alturas:
– Pontos de inflexão e suas alturas:
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico:
A função é par (
), simétrica em relação ao eixo
.
Decresce até
, atinge mínimo em
, e cresce depois.
Corta o eixo
em
.
Tem pontos de inflexão em
(mudança de concavidade para cima) e em
(mudança para cima/baixo conforme sinal).
Para
,
por ser potência ímpar com base quadrática.
Resposta
Intervalos de monotonicidade:
decrescente em , crescente em
.
decrescente em
Pontos críticos:
mínimo local em .
mínimo local em
Intervalos de concavidade:
côncava para cima em ,
,
;
côncava para baixo em ,
.
côncava para cima em
côncava para baixo em
Pontos de inflexão:
,
,
,
.
Esboço: curva em “W” suavizado, simétrica, mínimo em
, passa por
e inflexões em
.