Quais os valores possíveis de mdc(a^2, b^3), se mdc(a, b) é um número primo? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que mdc(a,b)=p, onde p é primo, e pede os possíveis valores de mdc(a^2,b^3). Para resolver, vamos usar a propriedade de divisão em potências e a fatoração em primos: se d=mdc(a,b), então escrevemos
a = dcdot a', b = dcdot b',
com mdc(a',b')=1.

Passo 2

Como mdc(a,b)=p, temos
a = p,a', b = p,b', com mdc(a',b')=1
Elevações ao quadrado e ao cubo dão
a^2 = p^2,a'^2, b^3 = p^3,b'^3

Passo 3

Pela definição de gcd em potências,
mdc(a^2,b^3) = mdcl(p^2,a'^2,;p^3,b'^3r) = p^min(2,3);mdcl(a'^2,b'^3r)
Como mdc(a',b')=1, segue mdc(a'^2,b'^3)=1. Logo
mdc(a^2,b^3)=p^2

Resposta

O único valor possível é mdc(a^2,b^3)=p^2, com p primo.

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