Seja
um inteiro ímpar. Mostre que o resto da divisão de
por 4 é 1 ou 3 .
Resolução: Varnos supor
. Se ré o resto na divisão de m por 4, então:
Para
ou
, o segundo membro dessa igualdade seria par, o que não é possível.
Passo 1
O problema pede para mostrar que, se
é um inteiro ímpar, então ao dividi-lo por 4 o resto só pode ser 1 ou 3. O conteúdo aqui é o Teorema da Divisão (existe quociente e resto) e argumentação por paridade (par vs. ímpar).
Passo 2
Como
é ímpar, podemos escrever
para algum inteiro
. Isso deixa claro que
é da forma “dois vezes algo mais um”.
Passo 3
Pelo Teorema da Divisão, ao dividir
por 4 há inteiros
e
tais que
com
Passo 4
Substituindo
na igualdade acima, temos
Agora, teste os valores possíveis de
:
- Se
, então é par, mas é ímpar. - Se
, então é par, de novo conflito com ímpar.
Em ambos os casos a paridade do lado direito não bate com o lado esquerdo, logo
não pode ser 0 nem 2.
Passo 5
Como
só pode ser
ou
e já excluímos
e
, sobra
Resposta
O resto da divisão de
por 4 é
ou
.