Seja m um inteiro ímpar. Mostre que o resto da divisão de m por 4 é 1 ou 3 .
Resolução: Varnos supor m=2 n+1. Se ré o resto na divisão de m por 4, então:
2 n+1=4 q+r(r=0,1,2 ou 3)
Para r=0 ou r=2, o segundo membro dessa igualdade seria par, o que não é possível.

Passo 1

O problema pede para mostrar que, se m é um inteiro ímpar, então ao dividi-lo por 4 o resto só pode ser 1 ou 3. O conteúdo aqui é o Teorema da Divisão (existe quociente e resto) e argumentação por paridade (par vs. ímpar).

Passo 2

Como m é ímpar, podemos escrever
m = 2n + 1
para algum inteiro n. Isso deixa claro que m é da forma “dois vezes algo mais um”.

Passo 3

Pelo Teorema da Divisão, ao dividir m por 4 há inteiros q e r tais que
m = 4q + r,
com
r in 0,1,2,3

Passo 4

Substituindo m=2n+1 na igualdade acima, temos
2n + 1 = 4q + r
Agora, teste os valores possíveis de r:
  • Se r=0, então 4q+r=4q é par, mas 2n+1 é ímpar.
  • Se r=2, então 4q+r=4q+2 é par, de novo conflito com 2n+1 ímpar.
Em ambos os casos a paridade do lado direito não bate com o lado esquerdo, logo r não pode ser 0 nem 2.

Passo 5

Como r só pode ser 0,1,2 ou 3 e já excluímos 0 e 2, sobra
r=1ou r=3

Resposta

O resto da divisão de m por 4 é 1 ou 3.

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