(UE-CE) Para valores reais de k, as equações (k-4) x+5 y-5 k=0 representam no plano cartesiano uma família de retas que passam pelo ponto fixo P(m, n). O valor de m + n é:
a) 9
b) 11
c) 13
d) 14

Passo 1

O enunciado dá a família de retas
(k-4)x + 5y - 5k = 0
dependendo do parâmetro k, e afirma que todas passam por um ponto fixo P(m,n). O conteúdo é geometria analítica de famílias de retas e ponto comum. Para achar P, vamos impor que as coordenadas (m,n) satisfaçam a equação para todo k.

Passo 2

Substituindo (x,y)=(m,n) na equação da reta, obtemos
(k-4)m + 5n - 5k = 0
Colocando em forma de polinômio em k:
kcdot m - 4m + 5n - 5k = 0 Longrightarrow k,(m-5) + (5n-4m) = 0

Passo 3

Como a igualdade deve valer para todo valor de k, o polinômio em k é identicamente zero, logo seus coeficientes são nulos:
m - 5 = 0, 5n - 4m = 0

Passo 4

Da primeira equação vem m = 5. Substituindo em 5n - 4m = 0
5n - 4cdot 5 = 0 Longrightarrow 5n - 20 = 0 Longrightarrow n = 4
Assim,
m + n = 5 + 4 = 9

Resposta

9

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