Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
A equação de continuidade para fluidos incompressíveis afirma que é nula a divergência do campo vetorial das velocidades desses fluidos.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para fluidos incompressíveis, a equação de continuidade equivale a ter a divergência do campo de velocidade igual a zero. O conteúdo aqui é a equação de continuidade em mecânica dos fluidos e como ela se simplifica quando o fluido é incompressível (densidade constante). Para resolver, vamos lembrar da forma geral da continuidade e ver o que acontece quando a densidade não varia.

Passo 2

A forma geral da equação de continuidade para qualquer fluido é dada por
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0,
onde \rho é a densidade do fluido e \mathbf{v} é o campo de velocidade. Esse balanço diz que a variação local de massa \partial \rho/\partial t mais o fluxo de massa que sai de um volume \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) deve somar zero para conservar massa.

Passo 3

Num fluido incompressível temos \rho= constante ao longo do tempo e do espaço. Logo \partial \rho/\partial t = 0 e podemos levar \rho para fora da divergência:
0 + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = \rho\,(\nabla \cdot \mathbf{v}) = 0.
Como \rho\neq 0, divide-se por \rho e sobra
\nabla \cdot \mathbf{v} = 0.

Resposta

Verdadeiro

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