Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral e^a x cos b x d x=e^a xa^2+b^2[a cos b x+b sen b x]+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula
integral e^axcos bx,dx = e^axa^2+b^2l(acos bx + bsin bxr) + C
O conteúdo necessário é integração por partes aplicada duas vezes para obter uma equação em I, e depois verificação por derivação.

Passo 2

Definimos
I = integral e^axcos bx,dx
e aplicamos integração por partes com
u = e^ax, dv = cos bx,dx,
logo
du = a e^ax,dx, v = sin bxb
Isso dá
I = uv - integral v,du = e^axsin bxb - abintegral e^axsin bx,dx

Passo 3

Chamemos
J = integral e^axsin bx,dx
e aplicamos integração por partes com
u = e^ax, dv = sin bx,dx,
então
du = a e^ax,dx, v = -cos bxb,
e ficamos com
J = uv - integral v,du = -e^axcos bxb + abintegral e^axcos bx,dx = -e^axcos bxb + abI

Passo 4

Substituindo J em I:
I = e^axsin bxb - abJ = e^axsin bxb - abl(-e^axcos bxb + abIr)
Reorganizando,
Il(1 + a^2b^2r) = e^axb^2l(acos bx + bsin bxr),
portanto
I = e^axa^2 + b^2l(acos bx + bsin bxr) + C

Passo 5

Para verificar, derivamos
F(x) = e^axa^2 + b^2l(acos bx + bsin bxr)
Pela regra do produto e da cadeia:
F'(x) = e^axa^2 + b^2l(a^2cos bx - absin bx + absin bx + b^2cos bxr) = e^axcos bx,
o que bate com o integrando.

Resposta

integral e^axcos bx,dx = e^axa^2 + b^2l(acos bx + bsin bxr) + C

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