Resolver as equações em z :
z^5=-1-i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação
z^5 = -1 - i
Isso envolve números complexos e vamos usar a forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo e o Teorema de De Moivre para extrair raízes de índice 5.

Passo 2

Primeiro escrevemos o número do lado direito em forma trigonométrica. Seja
w = -1 - i
O módulo de w é
r = |w| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz2
O argumento principal theta satisfaz
tan(theta) = -1-1 = 1,
mas como (-1,-1) está no terceiro quadrante, temos
theta = -3pi4
Logo
-1 - i = raiz2,l[cosl(-tfrac3pi4r) + isinl(-tfrac3pi4r)r]

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre generalizada para raízes, se
z^5 = rl[cos(theta) + isin(theta)r],
então as soluções são
zk = r^1/5l[cosl(theta + 2pi k5r) + isinl(theta + 2pi k5r)r], k = 0,1,2,3,4

Passo 4

Aplicando com r=raiz2 e theta=-tfrac3pi4, obtemos
r^1/5 = (raiz2)^1/5 = 2^1/10, theta + 2pi k5 = -3pi20 + 2pi k5
Portanto as cinco raízes são
zk = 2^1/10l[cos!l(-tfrac3pi20 + tfrac2pi k5r) + i,sin!l(-tfrac3pi20 + tfrac2pi k5r)r], k=0,1,2,3,4

Resposta

boxed zk = 2^1/10l[cos!l(-tfrac3pi20 + tfrac2pi k5r) + i,sin!l(-tfrac3pi20 + tfrac2pi k5r)r], k=0,1,2,3,4

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