Verifique que: ln (x)=L(x)+Res(x), onde L(x)=(x-1)-12(x-1)^2+13(x-1)^3 e
Res(x)=integral0^x-1 u^3u+1 d u

Passo 1

O enunciado pede para escrever
ln(x) ;=; L(x) ;+; Res(x),
onde
L(x)=(x-1)-tfrac12(x-1)^2+tfrac13(x-1)^3 e Res(x)=integral0^,x-1u^3u+1,du
O que vamos usar é a definição integral de ln(x) e depois desenvolver o integrando 1/(1+u) em polinômio truncado mais resto.

Passo 2

Usamos a representação
ln(x)=integral1^xdtt
Fazendo a mudança de variável u=t-1, de modo que t=1+u e quando t=1 temos u=0, e quando t=x temos u=x-1, obtemos
ln(x) = integral0^,x-1du1+u

Passo 3

Fazemos a divisão polinomial truncada da função 1/(1+u) até a potência u^2. Sabe-se que
11+u = 1 - u + u^2 - u^31+u

Passo 4

Integramos as três primeiras parcelas de 1/(1+u) de 0 a x-1:
integral0^,x-1(1 - u + u^2),du = l[u - tfrac12u^2 + tfrac13u^3r]0^,x-1 = (x-1)-tfrac12(x-1)^2+tfrac13(x-1)^3 = L(x)

Passo 5

O quarto termo dá o resto. Logo
ln(x) = integral0^,x-1(1 - u + u^2),du ;-; integral0^,x-1u^31+u,du = L(x) ;-; integral0^,x-1u^31+u,du

Passo 6

Basta agora definir
Res(x) = integral0^,x-1u^3,u+1,,du
com sinal positivo para obter
ln(x)=L(x)+Res(x)

Resposta

Verificou-se que
ln(x) = (x-1)-tfrac12(x-1)^2+tfrac13(x-1)^3 ;+; integral0^,x-1u^3u+1,du

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