Quando você aplica a fórmula da integração por partes, como escolhe u e d v ? Como você pode aplicar a integração por partes a uma integral da forma \int f(x) d x ?
5. O que é integração tabular? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a técnica de integração por partes:
– Como escolher u e dv quando aplicamos a fórmula
– Como usar essa fórmula mesmo numa integral “simples” \int f(x)\,dx
– O que é integração tabular, com um exemplo prático
Vamos precisar conhecer a fórmula de integração por partes e a heurística para escolher u e dv, além de entender como organizar várias aplicações numa tabela (integração tabular).

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para escolher u e dv, usamos a regra mnemônica “LIATE”:
\text{L}ogarítmicos ( \ln x),
\text{I}nversas trigonométricas ( \arctan x, etc.),
\text{A}lgébricos ( x^n),
\text{T}rigonométricos ( \sin x,\cos x),
\text{E}xponenciais ( e^x, etc.).
Em geral, escolhemos u como o termo que — quando derivado — fica “mais simples” e dv como o resto, que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Para aplicar a fórmula numa integral da forma \int f(x)\,dx sem aparente produto, basta notar que
\int f(x)\,dx = \int f(x)\cdot1\,dx.
Logo, podemos escolher
u = f(x), \quad dv = 1\,dx,
de modo que
du = f'(x)\,dx, \quad v = \int1\,dx = x.
Isso dá
\int f(x)\,dx = f(x)\,x - \int x\,f'(x)\,dx.
Em muitas situações essa troca leva a uma integral mais simples ou que pode ser resolvida por outro método.

Passo 4

Integração tabular é um jeito organizado de fazer várias integrações por partes seguidas, montando uma tabela de derivadas de u e antiderivadas de dv, com sinais alternados. Exemplo:
\int x^2 e^x\,dx.
Construímos a tabela:
\begin{array}{c|c|c} \text{derivadas of }u & \text{antiderivadas of }dv & \text{sinal}\\hline u = x^2 & \int e^x dx = e^x & +\\\ u' = 2x & \int e^x dx = e^x & -\\\ u'' = 2 & \int e^x dx = e^x & +\\\ u''' = 0 & & \end{array}
Agora multiplicamos em diagonal seguindo os sinais:
\int x^2 e^x\,dx = +\,x^2 e^x -\,2x e^x +\,2\,e^x + C = e^x\bigl(x^2 - 2x + 2\bigr)+C.

Resposta

(u, dv) deve ser escolhido usando o critério “LIATE”: o termo que simplifica ao derivar vira u, o resto vira dv.
Para \int f(x)\,dx basta reescrever como \int f(x)\cdot1\,dx, escolhendo u=f(x), dv=dx.
Integração tabular é aplicar repetidas partes organizando derivadas de u e antiderivadas de dv numa tabela; ex.:
\displaystyle \int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2)+C.

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