Como você calcula
a inclinação de uma tangente a uma curva parametrizada?

Passo 1

Estamos lidando com uma curva no plano dada por coordenadas paramétricas
x = x(t),\quad y = y(t),
e queremos a inclinação da reta tangente a essa curva em um ponto correspondente ao parâmetro t. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas paramétricas e a regra da cadeia para obter \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Calcule as derivadas de cada coordenada em relação ao parâmetro t:
\frac{dx}{dt}\quad\text{e}\quad\frac{dy}{dt}.
Essas derivadas dão a velocidade da curva em cada direção x e y.

Passo 3

Use a regra da cadeia para passar de derivada em relação a t para derivada em relação a x. A inclinação da tangente é justamente
\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}},
desde que \frac{dx}{dt}\neq 0.

Passo 4

Se em algum ponto t_0 tivermos \frac{dx}{dt}(t_0)=0 e \frac{dy}{dt}(t_0)\neq0, a tangente é vertical (inclinação “infinita”). Se também \frac{dy}{dt}(t_0)=0, pode haver um ponto crítico ou cuspide, e é preciso examinar derivadas de ordem superior.

Resposta

A inclinação da tangente a uma curva parametrizada \bigl(x(t),y(t)\bigr) é
m(t)=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}.

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