Como você define e calcula a velocidade, o módulo da velocidade, a direção do movimento e a aceleração de um corpo que se move ao longo de uma curva plana suficientemente derivável? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente defina e calcule, para um corpo que se move ao longo de uma curva plana suficientemente derivável,
a velocidade vetorial,
o módulo da velocidade (velocidade escalar, ou “speed”),
a direção do movimento,
a aceleração.
O conteúdo envolve curvas paramétricas e derivadas vetoriais em .
O conteúdo envolve curvas paramétricas e derivadas vetoriais em
Passo 2
Seja a posição do corpo dada pela curva paramétrica
,
com e
duas vezes deriváveis. A velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo.
com
Passo 3
Define-se a velocidade vetorial como
Passo 4
O módulo da velocidade, isto é, a velocidade escalar ou speed, é
Passo 5
A direção do movimento, em cada instante, é dada pelo versor tangente à curva, isto é, o vetor unitário
Passo 6
A aceleração vetorial é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
Passo 7
Exemplo
– Movimento circular uniforme com raio
e velocidade angular
:
Então
ou seja, aceleração centrípeta de módulo
apontando para o centro.
Passo 8
Exemplo
– Curva polinomial qualquer, por exemplo
Aqui
Resposta
- Velocidade vetorial:
. - Módulo da velocidade (speed):
. - Direção do movimento: versor tangente
. - Aceleração vetorial:
.
Exemplo
(movimento circular uniforme) e Exemplo
(curva polinomial) acima mostraram como aplicar essas definições.