Como você define e calcula a velocidade, o módulo da velocidade, a direção do movimento e a aceleração de um corpo que se move ao longo de uma curva plana suficientemente derivável? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina e calcule, para um corpo que se move ao longo de uma curva plana suficientemente derivável,
\bullet a velocidade vetorial,
\bullet o módulo da velocidade (velocidade escalar, ou “speed”),
\bullet a direção do movimento,
\bullet a aceleração.
O conteúdo envolve curvas paramétricas e derivadas vetoriais em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Seja a posição do corpo dada pela curva paramétrica
\mathbf{r}(t) = (x(t),\,y(t)),
com x(t) e y(t) duas vezes deriváveis. A velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 3

Define-se a velocidade vetorial como
\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr).

Passo 4

O módulo da velocidade, isto é, a velocidade escalar ou speed, é
\|\mathbf{v}(t)\| = \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2}.

Passo 5

A direção do movimento, em cada instante, é dada pelo versor tangente à curva, isto é, o vetor unitário
\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|}.

Passo 6

A aceleração vetorial é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt}(t) = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t) = \bigl(x''(t),\,y''(t)\bigr).

Passo 7

Exemplo 1 – Movimento circular uniforme com raio R e velocidade angular \omega:
\mathbf{r}(t) = \bigl(R\cos(\omega t),\,R\sin(\omega t)\bigr).
Então
\mathbf{v}(t) = \bigl(-R\omega\sin(\omega t),\,R\omega\cos(\omega t)\bigr), \quad \|\mathbf{v}(t)\| = R\omega,
\mathbf{T}(t) =\bigl(-\sin(\omega t),\,\cos(\omega t)\bigr), \quad \mathbf{a}(t)=\bigl(-R\omega^2\cos(\omega t),\,-R\omega^2\sin(\omega t)\bigr),
ou seja, aceleração centrípeta de módulo R\omega^2 apontando para o centro.

Passo 8

Exemplo 2 – Curva polinomial qualquer, por exemplo
\mathbf{r}(t) = \bigl(t^2,\,t^3\bigr).
Aqui
\mathbf{v}(t) = (2t,\,3t^2), \quad \|\mathbf{v}(t)\| = \sqrt{4t^2 + 9t^4},
\mathbf{T}(t) = \frac{(2t,\,3t^2)}{\sqrt{4t^2 + 9t^4}}, \quad \mathbf{a}(t) = (2,\,6t).

Resposta

  • Velocidade vetorial: \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t).
  • Módulo da velocidade (speed): \|\mathbf{v}(t)\| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}.
  • Direção do movimento: versor tangente \mathbf{T}(t)=\mathbf{v}(t)/\|\mathbf{v}(t)\|.
  • Aceleração vetorial: \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t).
Exemplo 1 (movimento circular uniforme) e Exemplo 2 (curva polinomial) acima mostraram como aplicar essas definições.

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