Como você poderia eventualmente usar uma identidade trigonométrica para transformar uma integral desconhecida em uma outra que você saiba como calcular?

Passo 1

O enunciado pergunta como usar identidades trigonométricas para converter uma integral que você não sabe calcular em outra cuja antiderivada é conhecida. O conteúdo envolvido é o uso de identidades trigonométricas (como redução de potência, ângulo duplo, soma-produto etc.) para simplificar integrais.

Passo 2

O primeiro passo na resolução é identificar o “padrão” do integrando. Verifique se ele envolve potências de \sin x ou \cos x, produtos como \sin x\cos x, ou somas de funções trigonométricas que possam ser transformadas.

Passo 3

Escolha a identidade trigonométrica que melhor se aplica ao padrão identificado. Exemplos comuns:
\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2},
\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2},
\sin x\,\cos x = \frac{\sin(2x)}{2},
ou as fórmulas de soma-para-produto:
\sin a + \sin b = 2\sin\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{a-b}{2}\Bigr).

Passo 4

Aplique a identidade ao integrando e simplifique. Por exemplo, se você tem
\int \sin^2x \,dx
use
\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
para obter
\int \sin^2x \,dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2}\,dx = \frac12\int 1\,dx - \frac12\int \cos(2x)\,dx.

Passo 5

Calcule as novas integrais que resultaram da aplicação da identidade, usando antiderivadas conhecidas. No exemplo acima,
\frac12\int 1\,dx = \frac{x}{2}, \qquad \frac12\int \cos(2x)\,dx = \frac12\cdot\frac{\sin(2x)}{2} = \frac{\sin(2x)}{4}.
Portanto,
\int \sin^2x \,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C.

Resposta

Para usar identidades trigonométricas em integrais:
  1. Identifique o padrão (potências, produtos ou somas de \sin e \cos).
  2. Escolha e aplique a identidade adequada (redução de potência, ângulo duplo ou soma-produto).
  3. Simplifique o integrando e passe a uma soma de integrais elementares.
  4. Calcule cada integral resultante e, se preciso, reescreva em termos da variável original.

Exercícios de Livros Relacionados