(Callister 9.17) Um componente de aeronave é fabricado de uma liga de alumínio que tem uma tenacidade a fratura em deformação plana KIC de 35 \mathrm{MPa} \sqrt{m}. Foi determinado que a fratura resulta em uma tensão de 250 MPa quando o tamanho máximo (ou crítico) da trinca interna é 2,0 mm . Para esse mesmo componente e liga, a fratura irá ocorrer em um nível de tensão de 325 MPa , quando o tamanho máximo da trinca é de 1,0 \mathrm{~mm}. Sim ou não.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para o mesmo componente e liga com tenacidade à fratura dada, a fratura ocorrerá a uma tensão de 325\\ \mathrm{MPa} quando o tamanho máximo da trinca é 1,0\\ \mathrm{mm}. Dados fornecidos:
K_{IC}=35\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}
\sigma_1=250\\ \mathrm{MPa}
a_1=2,0\\ \mathrm{mm}
\sigma_2^{\text{(dada)}}=325\\ \mathrm{MPa}
a_2=1,0\\ \mathrm{mm}
A pergunta é só “Sim ou não” (fratura ocorre a 325\\ \mathrm{MPa} com a_2=1,0\\ \mathrm{mm}?).

Passo 2

Conceito básico usado: o fator de intensidade de tensão no modo I é dado por
K_I = Y\,\sigma\sqrt{\pi a},
onde:
  • K_I é o fator de intensidade de tensões (unidade \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}});
  • Y é um fator geométrico adimensional que depende da geometria da trinca e da peça;
  • \sigma é a tensão aplicada (unidade \mathrm{MPa});
  • a é o tamanho característico da trinca (unidade \mathrm{m} — atenção às unidades).
    A condição de fratura é que K_I atinja a tenacidade à fratura: K_I = K_{IC}. Como estamos comparando duas situações do mesmo componente e da mesma geometria de trinca, assumimos que Y é o mesmo nos dois casos.

Passo 3

Escrevendo a condição de fratura para os dois casos:
K_{IC}=Y\,\sigma_1\sqrt{\pi a_1}
K_{IC}=Y\,\sigma_2\sqrt{\pi a_2}
Dividindo a segunda pela primeira (o K_{IC}, Y e \sqrt{\pi} cancelam):
\frac{\sigma_2}{\sigma_1}=\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}
Logo, a tensão crítica para a trinca de tamanho a_2 é
\sigma_2=\sigma_1\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Primeiro convertendo milímetros para metros (só para mostrar as unidades; na razão elas se cancelam):
a_1=2,0\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m},\qquad a_2=1,0\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}.
Aplicando a fórmula:
\sigma_2=\;250\\ \mathrm{MPa}\times\sqrt{\frac{0,002}{0,001}}=250\\ \mathrm{MPa}\times\sqrt{2}.
\sqrt{2}\approx1,41421356\quad\Rightarrow\quad\sigma_2\approx250\times1,41421356\\ \mathrm{MPa}\approx353,6\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Interpretação: a tensão necessária para fraturar uma trinca de 1,0\\ \mathrm{mm} é aproximadamente \,353,6\\ \mathrm{MPa}. Como 325\\ \mathrm{MPa} é menor que esse valor, a condição K_I\ge K_{IC} não é satisfeita a 325\\ \mathrm{MPa}. Podemos ver a razão:
\frac{325}{353{,}6}\approx0{,}919<1,
ou seja, o K_I a 325\\ \mathrm{MPa} seria cerca de 91{,}9\% de K_{IC}, portanto insuficiente para fratura.

Passo 6

Conclusão direta à pergunta do enunciado: não, a fratura não ocorrerá a 325\\ \mathrm{MPa} quando o tamanho máximo da trinca for 1,0\\ \mathrm{mm}, porque a tensão crítica necessária para fratura nessa trinca é maior ( \approx353{,}6\\ \mathrm{MPa}).

Resposta

Não.

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