Uma bola é chutada do ponto A com uma velocidade inicia \mathrm{Va}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a altura máxima h que ela alcança e determine o alcance R e a velocidade escalar quando a bola toca o solo.

Passo 1

O enunciado diz que uma bola é chutada do ponto A com velocidade inicial \mathrm{Va}=10\\ \mathrm{m/s} e pede:
  1. a altura máxima h que ela alcança;
  2. o alcance horizontal R;
  3. a velocidade escalar (módulo da velocidade) quando a bola toca o solo.
Informações relevantes que temos: \mathrm{Va}=10\\ \mathrm{m/s}. O enunciado não informou o ângulo de lançamento, então vou chamar esse ângulo de \theta (medido entre a velocidade inicial e a horizontal) e expressar as respostas em função de \theta. Vou também assumir que a bola é lançada e volta ao mesmo nível vertical (o solo está no mesmo nível do ponto A) e desprezar resistência do ar. Adoto a aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

A ideia básica (vamos mastigar): em projéteis sem resistência do ar, separamos o movimento em duas direções independentes — horizontal (movimento retilíneo uniforme) e vertical (movimento uniformemente variado, com aceleração -g). Primeiro decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical.
A componente horizontal inicial é
V_{0x} = \mathrm{Va}\cos\theta.
A componente vertical inicial é
V_{0y} = \mathrm{Va}\sin\theta.
Explicação didática: pense na velocidade inicial como uma seta. A projeção dessa seta sobre a horizontal é V_{0x} e sobre a vertical é V_{0y}. As funções \cos\theta e \sin\theta dão essas projeções.

Passo 3

Vamos achar o tempo até o ponto mais alto (ápice). No ápice a componente vertical da velocidade fica zero. Usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente variado vertical:
V_y(t)=V_{0y}-g t.
No ápice V_y=0. Logo o tempo até o ápice t_{\text{top}} é
0 = V_{0y} - g\,t_{\text{top}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{top}}=\frac{V_{0y}}{g}=\frac{\mathrm{Va}\sin\theta}{g}.
Explicação didática: a gravidade reduz a componente vertical da velocidade até parar no topo; o tempo necessário é a razão entre a velocidade vertical inicial e a desaceleração g.

Passo 4

Agora calculamos a altura máxima h. Podemos usar a equação do deslocamento vertical no MUV:
y(t)=V_{0y}t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Plugando t=t_{\text{top}} chegamos à altura máxima:
h = V_{0y}t_{\text{top}} - \tfrac{1}{2} g t_{\text{top}}^2.
Substituindo t_{\text{top}}=\dfrac{\mathrm{Va}\sin\theta}{g} e V_{0y}=\mathrm{Va}\sin\theta:
h = (\mathrm{Va}\sin\theta)\left(\frac{\mathrm{Va}\sin\theta}{g}\right) - \tfrac{1}{2}g\left(\frac{\mathrm{Va}\sin\theta}{g}\right)^2.
Agora simplificamos passo a passo:
h = \frac{\mathrm{Va}^2\sin^2\theta}{g} - \frac{1}{2}\frac{\mathrm{Va}^2\sin^2\theta}{g} = \frac{1}{2}\,\frac{\mathrm{Va}^2\sin^2\theta}{g}.
Portanto a fórmula final é
h = \frac{\mathrm{Va}^2\sin^2\theta}{2g}.
Aula rápida: essa fórmula aparece sempre — a altura máxima depende só da componente vertical inicial (porque a horizontal não interfere no quanto sobe). Em palavras: energia cinética vertical inicial é transformada em energia potencial máxima.

Passo 5

Agora vamos ao alcance horizontal R. Primeiro o tempo total de voo T: se o projétil retorna ao mesmo nível, o tempo de subida e descida são iguais, então
T = 2\,t_{\text{top}} = 2\frac{\mathrm{Va}\sin\theta}{g} = \frac{2\mathrm{Va}\sin\theta}{g}.
O alcance R é a componente horizontal da velocidade multiplicada pelo tempo de voo (movimento horizontal uniforme):
R = V_{0x}\,T = (\mathrm{Va}\cos\theta)\left(\frac{2\mathrm{Va}\sin\theta}{g}\right).
Rearranjando e usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta:
R = \frac{\mathrm{Va}^2}{g}\,2\sin\theta\cos\theta = \frac{\mathrm{Va}^2\sin(2\theta)}{g}.
Aula rápida: a famosa fórmula do alcance. Para dado \mathrm{Va}, R é máximo quando \sin(2\theta)=1, isto é, 2\theta=90^\circ ou \theta=45^\circ.

Passo 6

Velocidade escalar quando a bola toca o solo. Em movimento sem resistência do ar, se o projétil volta ao mesmo nível do lançamento, a rapidez (módulo da velocidade) ao retornar é igual à rapidez inicial. Vamos explicar e provar rapidinho.
Método 1 — por simetria das componentes: a componente horizontal permanece constante: V_x=\mathrm{Va}\cos\theta. A componente vertical no instante de impacto tem o mesmo módulo e sinal oposto da componente vertical inicial (porque sobe e depois desce simetricamente), então no impacto V_y=-\mathrm{Va}\sin\theta. O módulo da velocidade no impacto é
V_{\text{impact}}=\sqrt{V_x^2+V_y^2}=\sqrt{(\mathrm{Va}\cos\theta)^2+(-\mathrm{Va}\sin\theta)^2}=\sqrt{\mathrm{Va}^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\mathrm{Va}.
Método 2 — pela conservação de energia: energia cinética inicial \tfrac{1}{2}m\mathrm{Va}^2 vira energia potencial no ápice e volta a energia cinética na descida, chegando ao mesmo nível com a mesma energia cinética inicial, logo mesma rapidez.
Conclusão: a velocidade escalar ao tocar o solo é igual a \mathrm{Va}. Como \mathrm{Va}=10\\ \mathrm{m/s}, então a rapidez ao impacto é 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Vamos agora inserir \mathrm{Va}=10\\ \mathrm{m/s} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} nas fórmulas para deixar as respostas prontas para a prova.
Altura máxima:
h=\frac{\mathrm{Va}^2\sin^2\theta}{2g}=\frac{10^2\sin^2\theta}{2\cdot 9,8}=\frac{100\sin^2\theta}{19,6}\approx 5,102\sin^2\theta\\ \mathrm{m}.
Alcance:
R=\frac{\mathrm{Va}^2\sin(2\theta)}{g}=\frac{100\sin(2\theta)}{9,8}\approx 10,204\sin(2\theta)\\ \mathrm{m}.
Velocidade escalar ao tocar o solo:
V_{\text{impact}}=\mathrm{Va}=10\\ \mathrm{m/s}.
Exemplinhos rápidos (para fixar — não substituem o resultado genérico):
  • Se \theta=30^\circ: \sin30^\circ=\tfrac{1}{2} então h\approx 5,102\cdot\frac{1}{4}\approx 1,276\\ \mathrm{m} e R\approx 10,204\cdot\sin60^\circ\approx 10,204\cdot 0,866\approx 8,84\\ \mathrm{m}. Velocidade ao impacto =10\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo que maximiza R é \theta=45^\circ. Nesse caso R_{\max}=\dfrac{\mathrm{Va}^2}{g}=\dfrac{100}{9,8}\approx 10,204\\ \mathrm{m} e h para 45^\circ é \approx 2,551\\ \mathrm{m}.
Força extra de ânimo: você já tem as fórmulas que caem sempre em prova — decore a decomposição da velocidade, a fórmula do t_{\text{top}}, e as fórmulas finais para h e R. Isso resolve a maior parte dos exercícios de projéteis sem resistência do ar.

Resposta

h=\dfrac{100\sin^2\theta}{19,6}\approx 5,102\sin^2\theta\\ \mathrm{m}
R=\dfrac{100\sin(2\theta)}{9,8}\approx 10,204\sin(2\theta)\\ \mathrm{m}
V_{\text{impact}}=10\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados