Uma bola é chutada do ponto A com uma velocidade inicia
. Determine a altura máxima h que ela alcança e determine o alcance R e a velocidade escalar quando a bola toca o solo.
Passo 1
O enunciado diz que uma bola é chutada do ponto
com velocidade inicial
e pede:
- a altura máxima
que ela alcança; - o alcance horizontal
; - a velocidade escalar (módulo da velocidade) quando a bola toca o solo.
Informações relevantes que temos:
. O enunciado não informou o ângulo de lançamento, então vou chamar esse ângulo de
(medido entre a velocidade inicial e a horizontal) e expressar as respostas em função de
. Vou também assumir que a bola é lançada e volta ao mesmo nível vertical (o solo está no mesmo nível do ponto
) e desprezar resistência do ar. Adoto a aceleração da gravidade
.
Passo 2
A ideia básica (vamos mastigar): em projéteis sem resistência do ar, separamos o movimento em duas direções independentes — horizontal (movimento retilíneo uniforme) e vertical (movimento uniformemente variado, com aceleração
). Primeiro decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical.
A componente horizontal inicial é
A componente vertical inicial é
Explicação didática: pense na velocidade inicial como uma seta. A projeção dessa seta sobre a horizontal é
e sobre a vertical é
. As funções
e
dão essas projeções.
Passo 3
Vamos achar o tempo até o ponto mais alto (ápice). No ápice a componente vertical da velocidade fica zero. Usamos a equação da velocidade no movimento uniformemente variado vertical:
No ápice
. Logo o tempo até o ápice
é
Explicação didática: a gravidade reduz a componente vertical da velocidade até parar no topo; o tempo necessário é a razão entre a velocidade vertical inicial e a desaceleração
.
Passo 4
Agora calculamos a altura máxima
. Podemos usar a equação do deslocamento vertical no MUV:
Plugando
chegamos à altura máxima:
Substituindo
e
:
Agora simplificamos passo a passo:
Portanto a fórmula final é
Aula rápida: essa fórmula aparece sempre — a altura máxima depende só da componente vertical inicial (porque a horizontal não interfere no quanto sobe). Em palavras: energia cinética vertical inicial é transformada em energia potencial máxima.
Passo 5
Agora vamos ao alcance horizontal
. Primeiro o tempo total de voo
: se o projétil retorna ao mesmo nível, o tempo de subida e descida são iguais, então
O alcance
é a componente horizontal da velocidade multiplicada pelo tempo de voo (movimento horizontal uniforme):
Rearranjando e usando a identidade trigonométrica
:
Aula rápida: a famosa fórmula do alcance. Para dado
,
é máximo quando
, isto é,
ou
.
Passo 6
Velocidade escalar quando a bola toca o solo. Em movimento sem resistência do ar, se o projétil volta ao mesmo nível do lançamento, a rapidez (módulo da velocidade) ao retornar é igual à rapidez inicial. Vamos explicar e provar rapidinho.
Método 1 — por simetria das componentes: a componente horizontal permanece constante:
. A componente vertical no instante de impacto tem o mesmo módulo e sinal oposto da componente vertical inicial (porque sobe e depois desce simetricamente), então no impacto
. O módulo da velocidade no impacto é
Método 2 — pela conservação de energia: energia cinética inicial
vira energia potencial no ápice e volta a energia cinética na descida, chegando ao mesmo nível com a mesma energia cinética inicial, logo mesma rapidez.
Conclusão: a velocidade escalar ao tocar o solo é igual a
. Como
, então a rapidez ao impacto é
.
Passo 7
Vamos agora inserir
e
nas fórmulas para deixar as respostas prontas para a prova.
Altura máxima:
Alcance:
Velocidade escalar ao tocar o solo:
Exemplinhos rápidos (para fixar — não substituem o resultado genérico):
- Se
: então e . Velocidade ao impacto . - Ângulo que maximiza
é . Nesse caso e para é .
Força extra de ânimo: você já tem as fórmulas que caem sempre em prova — decore a decomposição da velocidade, a fórmula do
, e as fórmulas finais para
e
. Isso resolve a maior parte dos exercícios de projéteis sem resistência do ar.