Questão 1: Uma barra de alumínio de
de comprimento não deve se alongar mais que
e a tensão normal não deve exceder 90 MPa quando a barra está submetida a uma força axial de
. Sabendo que
, determine o diâmetro necessário para a barra.
Passo 1
O enunciado pede que a barra cilíndrica de alumínio tenha um diâmetro tal que duas condições sejam satisfeitas quando ela é submetida a uma força axial de
:
- O alongamento não deve exceder
(vou interpretar isso como ; em notação decimal isso corresponde a ). - A tensão normal não deve exceder
.
Dados fornecidos (já colocados em unidades do SI):
O que nos pedem: determinar o diâmetro mínimo
da seção circular da barra que satisfaça simultaneamente as duas restrições acima.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo):
-
Tensão normal (quando a força axial é distribuída uniformemente sobre a seção):onde
é a força axial (em ) e é a área da seção transversal (em ). Para uma seção circular de diâmetro , Então, se quisermos que, podemos isolar . -
Alongamento axial (Lei de Hooke para tração axial dentro do regime elástico):onde
é a deformação (adimensional), é o alongamento (em ), é o comprimento original (em ) e é o módulo de Young (em ). Substituindo obtemos a fórmula prática para o alongamento: Novamente, compodemos isolar a partir da restrição .
Resumindo: vamos obter duas expressões para o diâmetro mínimo, uma a partir da restrição de tensão e outra a partir da restrição de alongamento, e então tomar o maior dos dois (pois o diâmetro deve satisfazer ambas).
Passo 3
Derivação e cálculo do diâmetro exigido pela restrição de tensão.
Partimos de
Isolando
:
Agora substituímos os valores (tudo em SI):
Vamos calcular passo a passo:
Portanto, pela restrição de tensão precisamos de pelo menos
.
Passo 4
Derivação e cálculo do diâmetro exigido pela restrição de alongamento.
Partimos de
Isolando
:
Substituindo os valores:
Cálculo passo a passo:
Portanto, pela restrição de alongamento precisamos de pelo menos
.
Passo 5
Conclusão: devemos escolher o maior dos dois diâmetros calculados para satisfazer ambas as restrições simultaneamente.
Temos:
O maior é
. Logo o diâmetro mínimo necessário é
. Na prática de projeto costuma-se arredondar para um valor comercial um pouco maior (por exemplo
ou
), mas o cálculo mínimo teórico deu
.