Questão 1: Uma barra de alumínio de 1,75 \mathrm{~m} de comprimento não deve se alongar mais que 1,800 \mathrm{~mm} e a tensão normal não deve exceder 90 MPa quando a barra está submetida a uma força axial de 5,0 \mathrm{kN}. Sabendo que \mathrm{E}=90 \mathrm{GPa}, determine o diâmetro necessário para a barra.

Passo 1

O enunciado pede que a barra cilíndrica de alumínio tenha um diâmetro tal que duas condições sejam satisfeitas quando ela é submetida a uma força axial de 5{,}0\\ \mathrm{kN}:
  1. O alongamento não deve exceder 1{,}800\\ \mathrm{mm} (vou interpretar isso como 1{,}800\\ \mathrm{mm} = 1{,}800\\ \text{milésimos de metro}é; em notação decimal isso corresponde a 1{,}800\\ \mathrm{mm}=0{,}0018\\ \mathrm{m}).
  2. A tensão normal não deve exceder 90\\ \mathrm{MPa}.
Dados fornecidos (já colocados em unidades do SI):
P = 5{,}0\\ \mathrm{kN} = 5\,000\\ \mathrm{N}
L = 1{,}75\\ \mathrm{m}
\Delta_{\max} = 1{,}800\\ \mathrm{mm} = 0{,}0018\\ \mathrm{m}
\sigma_{\max} = 90\\ \mathrm{MPa} = 90\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}
E = 90\\ \mathrm{GPa} = 90\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}
O que nos pedem: determinar o diâmetro mínimo d da seção circular da barra que satisfaça simultaneamente as duas restrições acima.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho passo a passo):
  • Tensão normal (quando a força axial é distribuída uniformemente sobre a seção):
    \sigma = \frac{P}{A},
    onde P é a força axial (em \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal (em \mathrm{m}^2). Para uma seção circular de diâmetro d,
    A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
    Então, se quisermos que \sigma\le\sigma_{\max}, podemos isolar d.
  • Alongamento axial (Lei de Hooke para tração axial dentro do regime elástico):
    \varepsilon = \frac{\Delta}{L} = \frac{\sigma}{E},
    onde \varepsilon é a deformação (adimensional), \Delta é o alongamento (em \mathrm{m}), L é o comprimento original (em \mathrm{m}) e E é o módulo de Young (em \mathrm{Pa}). Substituindo \sigma = P/A obtemos a fórmula prática para o alongamento:
    \Delta = \frac{P L}{A E}.
    Novamente, com A=\pi d^{2}/4 podemos isolar d a partir da restrição \Delta\le\Delta_{\max}.
Resumindo: vamos obter duas expressões para o diâmetro mínimo, uma a partir da restrição de tensão e outra a partir da restrição de alongamento, e então tomar o maior dos dois (pois o diâmetro deve satisfazer ambas).

Passo 3

Derivação e cálculo do diâmetro exigido pela restrição de tensão.
Partimos de
\sigma_{\max} = \frac{P}{A} = \frac{P}{\pi d^{2}/4}.
Isolando d:
\frac{P}{\pi d^{2}/4} \le \sigma_{\max} \quad\Longrightarrow\quad d^{2} \ge \frac{4P}{\pi \sigma_{\max}} \quad\Longrightarrow\quad d \ge \sqrt{\frac{4P}{\pi \sigma_{\max}}}.
Agora substituímos os valores (tudo em SI):
d_{\text{tensão}} = \sqrt{\frac{4\cdot 5\,000}{\pi\cdot 90\times10^{6}}}.ã
Vamos calcular passo a passo:
4\cdot 5\,000 = 20\,000.
\pi\cdot 90\times10^{6} \approx 3{,}14159265\cdot 90\times10^{6} \approx 282\,743\,338{,}8.
\frac{20\,000}{282\,743\,338{,}8} \approx 0{,}0000707106781.
d_{\text{tensão}} \approx \sqrt{0{,}0000707106781} \approx 0{,}00841\\ \mathrm{m} = 8{,}41\\ \mathrm{mm}.ã
Portanto, pela restrição de tensão precisamos de pelo menos d_{\text{tensão}}\approx 8{,}41\\ \mathrm{mm}ã.

Passo 4

Derivação e cálculo do diâmetro exigido pela restrição de alongamento.
Partimos de
\Delta_{\max} \ge \Delta = \frac{P L}{A E} = \frac{P L}{(\pi d^{2}/4)E}.
Isolando d:
\frac{P L}{\pi d^{2} E/4} \le \Delta_{\max} \quad\Longrightarrow\quad d^{2} \ge \frac{4 P L}{\pi E \Delta_{\max}} \quad\Longrightarrow\quad d \ge \sqrt{\frac{4 P L}{\pi E \Delta_{\max}}}.
Substituindo os valores:
d_{\text{along}} = \sqrt{\frac{4\cdot 5\,000\cdot 1{,}75}{\pi\cdot 90\times10^{9}\cdot 0{,}0018}}.
Cálculo passo a passo:
4\cdot 5\,000\cdot 1{,}75 = 35\,000.
90\times10^{9}\cdot 0{,}0018 = 162\times10^{6} = 162\,000\,000.
\pi\cdot 162\,000\,000 \approx 3{,}14159265\cdot 162\,000\,000 \approx 508\,938\,009{,}8.
\frac{35\,000}{508\,938\,009{,}8} \approx 0{,}0000687588.
d_{\text{along}} \approx \sqrt{0{,}0000687588} \approx 0{,}00829\\ \mathrm{m} = 8{,}29\\ \mathrm{mm}.
Portanto, pela restrição de alongamento precisamos de pelo menos d_{\text{along}}\approx 8{,}29\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Conclusão: devemos escolher o maior dos dois diâmetros calculados para satisfazer ambas as restrições simultaneamente.
Temos:
d_{\text{tensão}}\approx 8{,}41\\ \mathrm{mm}, \qquad d_{\text{along}}\approx 8{,}29\\ \mathrm{mm}.ã
O maior é d_{\text{tensão}}=8{,}41\\ \mathrm{mm}ã. Logo o diâmetro mínimo necessário é 8{,}41\\ \mathrm{mm}. Na prática de projeto costuma-se arredondar para um valor comercial um pouco maior (por exemplo 8{,}5\\ \mathrm{mm} ou 9{,}0\\ \mathrm{mm}), mas o cálculo mínimo teórico deu 8{,}41\\ \mathrm{mm}.

Resposta

d = 8{,}41\\ \mathrm{mm}

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