Qual a equação que se utiliza para calcular o valor crítico de tenacidade à fratura K_{I c}. Identifique e conceitue cada termo. Qual a unidade.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) qual é a equação usada para calcular o valor crítico de tenacidade à fratura K_{Ic}; (2) identificar e conceituar cada termo dessa equação; (3) informar a unidade de K_{Ic}. Não há dados numéricos para calcular um valor numérico, então vamos apresentar a equação geral e explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Apresento primeiro a forma mais usada e mais simples da teoria linear-elástica de fratura (LEFM) para o modo I (abertura): a equação básica é
K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a}
Aqui K_I é o fator de intensidade de tensão no modo I. O valor crítico em condição de tração em regime de plano de deformação é chamado de K_{Ic} — isto é, o valor de K_I no qual o material fratura em condições de plano de deformação. Portanto, a forma prática para o valor crítico é
K_{Ic} = Y\,\sigma_c\,\sqrt{\pi a}
onde \sigma_c é a tensão crítica associada à fratura (por exemplo a tensão aplicada no instante da falha).

Passo 3

Agora vou explicar detalhadamente cada termo da equação \;K_{Ic} = Y\,\sigma_c\,\sqrt{\pi a},:
  • \;K_{Ic}: tenacidade à fratura crítica em modo I sob condições de plano de deformação. É a propriedade de resistência à propagação instável de uma trinca. É o que se chama usualmente de “tenacidade à fratura”.
  • \;Y: fator geométrico adimensional. Representa o efeito da geometria da peça e da posição do defeito no campo de tensões. Depende de como e onde o carregamento é aplicado e da forma do corpo (por exemplo, trinca interna numa placa, trinca na borda, corpo de prova CT, SENB etc.). É adimensional (sem unidade).
  • \;\sigma_c: tensão de referência (tensão nominal) aplicada que contribui para abrir a trinca no instante da fratura. Pode ser a tensão remota de tração, ou a tensão equivalente obtida a partir da carga crítica P_c em ensaios padronizados. Unidade: mesma unidade de tensão (por ex. \text{Pa} ou \text{MPa}).
  • \;a: comprimento efetivo da trinca. Para uma trinca através do corpo é o semi-comprimento; para uma trinca de borda é o comprimento da trinca desde a borda até a ponta. Unidade: comprimento (por ex. \text{m}).
  • \;\pi: a constante matemática pi, aparece na solução analítica do campo de tensões perto da ponta da trinca. É adimensional.

Passo 4

Por que a forma é com \sqrt{\pi a}? Intuitivamente: o campo de tensões perto da ponta de trinca em LEFM tem singularidade do tipo 1/\sqrt{r}, e o fator de escala que resume esse campo é o produto de uma tensão característica por \sqrt{\text{comprimento}}. Daí surge o fator \sigma\sqrt{a} (e o \sqrt{\pi} aparece na expressão solução da geometria básica). O fator Y ajusta essa expressão à geometria real.

Passo 5

Equações usadas em ensaios padronizados (úteis na prática): em muitas situações experimentais não se usa diretamente \sigma, mas sim a carga crítica P_c medida no ensaio e um fator geométrico que inclui a geometria do corpo de prova. Exemplos comuns:
  • Ensaio Compact Tension (CT):
K_{Ic} = \frac{P_c}{B\sqrt{W}}\,f\!\left(\frac{a}{W}\right)
onde P_c é a carga crítica (força) medida, B é a espessura do corpo de prova, W é a largura total do corpo de prova (característica de dimensão), a é o comprimento da trinca, e f(a/W) é uma função geométrica adimensional conhecida (polinomial) padronizada pela norma (ASTM). Aqui P_c/(B\sqrt{W}) tem a mesma dimensão de tensão dividida por \sqrt{\text{comprimento}}, de modo que o produto com f resulta em \text{tensão}\cdot\sqrt{\text{comprimento}}ã.
  • Ensaio Single Edge Notch Bending (SENB, três pontos):
K_{I} = \frac{P\,S}{B\,W^{3/2}}\,Y\!\left(\frac{a}{W}\right)
onde P é a carga aplicada, S é o vão de carregamento (span), B e W são espessura e largura do corpo de prova, a é o comprimento da trinca, e Y(a/W) é novamente função geométrica adimensional.
Obs.: As formas exatas de f ou Y são fórmulas polinomiais padronizadas que dependem de a/W; em normas (ASTM E399, ISO) encontram-se as expressões e faixas válidas.

Passo 6

Unidades e análise dimensional:
  • Unidade de \;K_{Ic}: tensão × raiz de comprimento. Em unidades SI:
\text{unidade de }K_{Ic} = \text{Pa}\cdot\text{m}^{1/2}.
Na prática usa-se comumente \text{MPa}\cdot\text{m}^{1/2} (megapascal vezes metro à metade).
  • Consistência dimensional: \sigma em \text{Pa} e a em \text{m} -> \sigma\sqrt{\pi a} tem unidade \text{Pa}\cdot\text{m}^{1/2}.

Passo 7

Condições de validade / cautelas (o que você precisa checar numa prova ou num ensaio):
  • A fórmula linear-elástica \;K = Y\sigma\sqrt{\pi a} vale quando o material apresenta comportamento predominantemente elástico próximo da ponta da trinca (pequena zona plástica) — isto é, pequeno escoamento relativo ao tamanho da trinca (small-scale yielding).
  • O valor K_{Ic} é medido em condição de plano de deformação (plane strain). Para que a condição de plano de deformação seja válida, a espessura B do corpo de prova deve ser suficientemente grande; norma prática (ASTM) exige que B e outras dimensões satisfaçam
B,\; (W-a)\\ \ge\\\ 2{,}5\left(\frac{K_{Ic}}{\sigma_y}\right)^2
onde \sigma_y é a tensão de escoamento do material. Se isso não for satisfeito, o valor medido pode ser dependente da espessura (condições de plane stress em vez de plane strain).

Passo 8

Exemplo numérico rápido (só para fixar): suponha \sigma_c = 100\\ \text{MPa}, a=1{,}0\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m} e Y=1{,}12. Então
K_{Ic} = 1{,}12\times 100\\ \text{MPa}\times\sqrt{\pi\times 1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}}
Calculando a raiz: \sqrt{\pi\times 1{,}0\times10^{-3}}\approx 0{,}0560\\ \text{m}^{1/2}. Assim
K_{Ic}\approx 1{,}12\times 100\times 0{,}0560 \approx 6{,}27\\ \text{MPa}\cdot\text{m}^{1/2}.
Isto mostra como usar a fórmula e como aparecem as unidades.

Resposta

K_{Ic} = Y\,\sigma_c\,\sqrt{\pi a}
K_{Ic}: tenacidade à fratura crítica em modo I (plane strain); Y: fator geométrico adimensional; \sigma_c: tensão nominal crítica (unidade de tensão, ex.: \text{Pa} ou \text{MPa}); a: comprimento da trinca (unidade de comprimento, ex.: \text{m}).
Unidade de K_{Ic}: \text{Pa}\cdot\text{m}^{1/2} (usualmente reportada como \text{MPa}\cdot\text{m}^{1/2}).

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