Uma camada de argila com espessura de 6 m e dupla face drenante é submetida a uma carga uniformemente distribuída de 6,1 \mathrm{t} / \mathrm{m}^{2}. Um ano após o carregamento, 50 \% do adensamento médio da camada já ocorreu. Qual o valor do coeficiente de adensamento? Calcule o tempo associado a 50% do adensamento para o caso de ser aplicado um carregamento igual ao dobro do anterior.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Espessura da camada de argila: \,6\\ \mathrm{m}.
    • Drenagem dupla (dupla face drenante).
    • Carga uniformemente distribuída: \,6{,}1\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^2 (nota: o valor da carga serve para o contexto, mas não é necessário para calcular o coeficiente de adensamento usando o enunciado dado).
    • Depois de \,1 ano, já ocorreu 50\% do adensamento médio da camada.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Qual o valor do coeficiente de adensamento (ou coeficiente de consolidação) da camada, \,c_v?
    2. Se, em outra situação, fosse aplicado um carregamento de valor igual ao dobro do anterior, qual seria o tempo associado a 50\% do adensamento?
Vou resolver passo a passo e te ensinar cada fórmula e cada hipótese usada.

Passo 2

Explicando a fórmula básica que vamos usar (a “aula” rápida): a teoria clássica de adensamento unidimensional de Terzaghi dá a relação entre o fator de tempo T_v, o coeficiente de adensamento c_v, o tempo t e o caminho de drenagem efetivo H_{dr}:
T_v = \frac{c_v\,t}{H_{dr}^2}.
O que cada coisa significa:
  • \,T_v: fator de tempo adimensional — depende apenas do grau de adensamento U e vem de tabelas ou gráficos da solução analítica de Terzaghi.
  • \,c_v: coeficiente de adensamento (unidades de \mathrm{m}^2/\mathrm{s} se t estiver em segundos e H_{dr} em metros). É o que pedimos.
  • \,t: tempo transcorrido (a mesma unidade que usaremos para obter c_v).
  • \,H_{dr}: caminho de drenagem característico. Para camada com drenagem em ambas as faces (dupla drenagem), o caminho de drenagem é metade da espessura total.
Essa fórmula pode ser reorganizada para obter c_v:
c_v = \frac{T_v\,H_{dr}^2}{t}.

Passo 3

Definindo o caminho de drenagem para o nosso caso (aplicando a regra da dupla drenagem):
  • Espessura total: \,H = 6\\ \mathrm{m}.
  • Para dupla drenagem, o caminho de drenagem é metade da espessura:
H_{dr}=\frac{H}{2}=\frac{6}{2}=3\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o valor de \,T_v correspondente a U=50\%:
Na solução clássica de Terzaghi / tabelas usuais de consolidação, o fator de tempo correspondente a U=50\% (ou seja, grau de adensamento U=0{,}5) para camada com drenagem por ambas as faces é
T_v \approx 0{,}197.
Esse valor é obtido em tabelas/curvas padronizadas da solução analítica de Terzaghi (podes imaginar que é um número que a gente “consulta” quando precisa do tempo para um certo percentual de adensamento).

Passo 5

Agora calculamos c_v usando a fórmula:
c_v = \frac{T_v\,H_{dr}^2}{t}.
Substituindo os valores conhecidos:
  • T_v = 0{,}197.
  • H_{dr} = 3\\ \mathrm{m} então H_{dr}^2 = 9\\ \mathrm{m}^2.
  • t = 1\\ \text{ano}. Para obter c_v em \mathrm{m}^2/\mathrm{s} convertemos \,1\\ \text{ano} em segundos: 1\\ \text{ano} = 365\cdot24\cdot3600 = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
Cálculo passo a passo:
\text{numerador} = T_v\,H_{dr}^2 = 0{,}197 \times 9 = 1{,}773.
c_v = \frac{1{,}773}{31\,536\,000}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} \approx 5{,}62\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Se preferires ver c_v em unidades por ano (útil para cálculos sem converter tempo), como aqui o tempo foi exatamente 1 ano, temos simplesmente:
c_v = 1{,}773\\ \mathrm{m}^2/\text{ano}.

Passo 6

Agora a segunda parte: calcular o tempo associado a 50\% de adensamento se o carregamento fosse o dobro. Aqui a parte conceitual importante (e que costuma gerar dúvida): dentro da teoria linear de adensamento de Terzaghi, o tempo necessário para atingir um certo grau de adensamento U não depende da magnitude da carga aplicada — desde que o solo permaneça na faixa em que as propriedades (como c_v) podem ser consideradas aproximadamente constantes. Em outras palavras, o fator de tempo T_v para U=50\% é o mesmo (0{,}197) e, se c_v não muda por causa do aumento da tensão, o tempo t que satisfaz
t = \frac{T_v\,H_{dr}^2}{c_v}
será o mesmo que antes.
Fazendo as contas (usando o c_v que achamos no Passo 5):
t = \frac{0{,}197 \times 9}{c_v} = \frac{1{,}773}{c_v}.
Como já tínhamos obtido c_v = 1{,}773\\ \mathrm{m}^2/\text{ano}, conclui-se que
t = 1\\ \text{ano}.
Portanto, sob a hipótese habitual de que c_v não muda quando a carga é dobrada, o tempo para atingir 50\% de adensamento continua sendo \,1\\ \text{ano}.

Passo 7

Observações finais rápidas (para te deixar confiante na prova):
  • A carga numérica \,6{,}1\\ \mathrm{t}/\mathrm{m}^2 serviu só para contextualizar; o cálculo do c_v aqui vem da relação tempo—grau de adensamento e da geometria (espessura/drenagem).
  • Se em um problema real o aumento de carga alterar significativamente as propriedades do solo (compressibilidade, permeabilidade), então c_v mudaria e o tempo para 50\% também mudaria — nesse caso seria necessário mais informação experimental (curvas de adensamento, ensaios odométricos) para recalcular.
  • Tu tá mandando bem só de encarar esse tipo de questão; anota essa fórmula e os valores tabelados de T_v (porcentagens comuns como 50%, 90% têm T_v conhecidos) que eles caem muito em provas.

Resposta

c_v \approx 5{,}62\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} \;=\;1{,}773\\ \mathrm{m}^2/\text{ano}\n
Tempo para 50\% com carga dobrada: 1\\ \text{ano}

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