Duas camadas argilosas idênticas foram adensadas para a mesma sobrecarga. A primeira camada apresentou uma porcentagem média de adensamento de 50 \% após decorridos 20 minutos, enquanto que a segunda apresentou uma porcentagem média de 90 \% após decorridos 40 minutos. Estas observações estão corretas?

Passo 1

O enunciado dá duas observações sobre adensamento de duas camadas argilosas idênticas submetidas à mesma sobrecarga. As informações são:
  • Primeira camada: porcentagem média de adensamento 50\% após 20\\ \text{min}.
  • Segunda camada: porcentagem média de adensamento 90\% após 40\\ \text{min}.
    A pergunta: estas observações estão corretas?

Passo 2

O conceito-chave que vamos usar é o da teoria de adensamento unidimensional de Terzaghi. Explico os termos e a fórmula principal:
  • U = grau médio de adensamento (por exemplo, U=0{,}5 para 50\%).
  • c_v = coeficiente de adensamento (magnitude que depende das propriedades do solo; tem unidades de comprimento²/tempo).
  • H = caminho de drenagem usado na definição do fator de tempo (para drenagem dupla H é a meia‑espessura da camada; para drenagem simples H é a espessura total).
  • t = tempo (por exemplo, 20\\ \text{min} ou 40\\ \text{min}).
  • fator de tempo adimensional \,T_v, definido por
T_v=\frac{c_v\,t}{H^2}.
A relação entre U e T_v (solução de Terzaghi para adensamento 1D) é
U = 1 - \sum_{m=0}^{\infty} \frac{8}{\pi^2(2m+1)^2}\exp\!\bigg[-\frac{(2m+1)^2\pi^2}{4}\,T_v\bigg],
que é a expressão exata (série) para drenagem dupla. Essa fórmula dá, para cada T_v, o grau médio de adensamento U. Em prática usa‑se tabela/gráfico que relaciona U e T_v.

Passo 3

Como as camadas são idênticas e receberam a mesma sobrecarga, assumimos que têm o mesmo c_v e a mesma geometria de drenagem (portanto mesmo H). Então para essas duas situações a única diferença entre elas é o tempo t. Assim o fator de tempo escala linearmente com o tempo:
T_v \propto t.
Isto significa que, com as mesmas propriedades, dobrar o tempo dobra T_v, triplicar o tempo triplica T_v, etc.

Passo 4

Agora precisamos relacionar os valores U=50\% e U=90\% com os correspondentes T_v. Usando a fórmula de Terzaghi ou a tabela/gráfico padrão (valores clássicos usados em engenharia geotécnica), temos os pares conhecidos:
  • Para U=50\% corresponde aproximadamente \,T_v\approx 0{,}197.
  • Para U=90\% corresponde aproximadamente \,T_v\approx 0{,}848.
Esses números são obtidos da série acima ou de tabelas padrão de U versus T_v (é assim que se costuma trabalhar em prova e em prática). Note que estou usando esses valores tabelados porque a inversão analítica da série é feita numericamente; essas duas correspondências são valores usuais conhecidos.

Passo 5

Como T_v é proporcional a t (mesmos c_v e H), a razão entre os tempos necessários para atingir dois graus de adensamento é a mesma razão entre os respectivos T_v. Assim
\frac{t_{90}}{t_{50}}=\frac{T_v(90\%)}{T_v(50\%)}\approx\frac{0{,}848}{0{,}197}\approx 4{,}306.
Dado que t_{50}=20\\ \text{min}, o tempo necessário para atingir U=90\% seria
t_{90}\approx 4{,}306\times 20\\ \text{min}\approx 86{,}1\\ \text{min}.

Passo 6

Comparando com a observação do enunciado: a segunda camada teria U=90\% após 40\\ \text{min}. Mas, pelas contas acima, com as mesmas propriedades e geometria isso exigiria cerca de 86\\ \text{min}, muito mais que 40\\ \text{min}. Portanto, as duas observações simultâneas (50% em 20\\ \text{min} e 90% em 40\\ \text{min}) não são compatíveis para camadas idênticas sob as mesmas condições de drenagem.

Passo 7

Observações adicionais (para sua prova e intuição):
  • Se uma das camadas tivesse drenagem muito mais favorável (por exemplo, drenagem dupla versus simples, ou espessura efetiva H menor) ou um c_v maior, aí sim poderia atingir 90\% mais rápido. Mas o enunciado diz “camadas idênticas”, então devemos assumir mesmas condições.
  • Uma regra prática que ajuda em provas: tabelas padrão dão T_v\approx0{,}197 para U=50\% e T_v\approx0{,}848 para U=90\%. Memorizar alguns pontos (50% e 90%) facilita checar coerência de tempos.

Resposta

Não. Para camadas idênticas nas mesmas condições, se U=50\% em 20\\ \text{min} então U=90\% só seria alcançado em cerca de 86{,}1\\ \text{min}, não em 40\\ \text{min}.

Exercícios relacionados