Uma camada esférica de Ferro de raio
e espessura de
é esfriada de
para
. Calcule a contração dessa camada.
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado:
- Raio inicial da camada esférica:
. - Espessura da camada:
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Pergunta: “Calcule a contração dessa camada.” (Ou seja, quanto as dimensões lineares da camada se reduzem quando ela é resfriada de
para .)
Passo 2
Princípio físico e fórmula usada — expansão térmica linear (aplicada a comprimentos lineares como raio e espessura):
onde:
-
é a variação do comprimento (negativa se houver contração), -
é o coeficiente de expansão linear do material (unidade: ), -
é o comprimento inicial, -
é a variação de temperatura.
Explicação didática: a fórmula diz que a mudança em qualquer dimensão linear de um sólido (comprimento, raio, espessura) é proporcional ao seu tamanho inicial, à variação de temperatura e a uma constante do material
. Para uma esfera fina, tanto o raio quanto a espessura reduzem aproximadamente na mesma razão relativa
.
Passo 3
Calculemos a variação de temperatura:
O sinal negativo indica arrefecimento (contração).
Passo 4
Escolha do coeficiente de expansão
para ferro:
- Valor típico do coeficiente linear de ferro (aço/ferro comum) é próximo de
(ou ). - Vou usar
. Se seu professor usar outro valor, basta substituir e o resultado escala linearmente com .
Passo 5
Contração do raio (aplicando a fórmula com
):
Substituindo valores:
Calcule passo a passo:
Conversão para unidades mais familiares:
Interpretação: o raio diminui em
quando a esfera é resfriada de
para
.
Passo 6
Contração da espessura (aplicando a mesma fórmula com
):
Substituindo valores:
Calcule passo a passo:
Conversões úteis:
Interpretação: a espessura diminui cerca de
(menos de um micrômetro) — é uma variação muito pequena porque a espessura inicial é pequena.
Passo 7
Resumo físico e observações:
- Ambas as variações são proporcionais a
e a . Se for usado outro valor de , multiplique os resultados pelo fator . - A contração do raio é da ordem de milímetros (
), significativa para estruturas grandes; a da espessura é da ordem de micrômetros, muito pequena comparada à espessura inicial de .