Uma camada esférica de Ferro de raio 4 m e espessura de 2 m m é esfriada de 25^{\circ} \mathrm{C} para -10^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a contração dessa camada.

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Raio inicial da camada esférica: \;R_0=4\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da camada: \;t_0=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial: \;T_i=25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: \;T_f=-10^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: “Calcule a contração dessa camada.” (Ou seja, quanto as dimensões lineares da camada se reduzem quando ela é resfriada de \;25^\circ\mathrm{C} para \;-10^\circ\mathrm{C}.)

Passo 2

Princípio físico e fórmula usada — expansão térmica linear (aplicada a comprimentos lineares como raio e espessura):
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T
onde:
  • \Delta L é a variação do comprimento (negativa se houver contração),
  • \alpha é o coeficiente de expansão linear do material (unidade: \mathrm{^\circ C^{-1}}),
  • L_0 é o comprimento inicial,
  • \Delta T = T_f-T_i é a variação de temperatura.
Explicação didática: a fórmula diz que a mudança em qualquer dimensão linear de um sólido (comprimento, raio, espessura) é proporcional ao seu tamanho inicial, à variação de temperatura e a uma constante do material \alpha. Para uma esfera fina, tanto o raio quanto a espessura reduzem aproximadamente na mesma razão relativa \alpha\,\Delta T.

Passo 3

Calculemos a variação de temperatura:
\Delta T = T_f - T_i = -10^\circ\mathrm{C} - 25^\circ\mathrm{C} = -35^\circ\mathrm{C}.
O sinal negativo indica arrefecimento (contração).

Passo 4

Escolha do coeficiente de expansão \alpha para ferro:
  • Valor típico do coeficiente linear de ferro (aço/ferro comum) é próximo de \alpha\approx 1{,}2\times 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}} (ou 12\times10^{-6}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}).
  • Vou usar \alpha=1{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}. Se seu professor usar outro valor, basta substituir e o resultado escala linearmente com \alpha.

Passo 5

Contração do raio (aplicando a fórmula com L_0=R_0):
\Delta R = \alpha\,R_0\,\Delta T.
Substituindo valores:
\Delta R = \left(1{,}2\times10^{-5}\right)\cdot 4\\ \mathrm{m}\cdot\left(-35\right).
Calcule passo a passo:
4\cdot(-35) = -140,
1{,}2\times10^{-5}\cdot(-140) = -168\times10^{-5} = -1{,}68\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Conversão para unidades mais familiares:
-1{,}68\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = -1{,}68\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o raio diminui em \;1{,}68\\ \mathrm{mm} quando a esfera é resfriada de 25^\circ\mathrm{C} para -10^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Contração da espessura (aplicando a mesma fórmula com L_0=t_0):
\Delta t = \alpha\,t_0\,\Delta T.
Substituindo valores:
\Delta t = \left(1{,}2\times10^{-5}\right)\cdot 0{,}002\\ \mathrm{m}\cdot\left(-35\right).
Calcule passo a passo:
0{,}002\cdot(-35) = -0{,}07,
1{,}2\times10^{-5}\cdot(-0{,}07) = -0{,}084\times10^{-5} = -8{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Conversões úteis:
-8{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = -0{,}84\\ \mu\mathrm{m} = -0{,}00084\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a espessura diminui cerca de \;0{,}84\\ \mu\mathrm{m} (menos de um micrômetro) — é uma variação muito pequena porque a espessura inicial é pequena.

Passo 7

Resumo físico e observações:
  • Ambas as variações são proporcionais a \alpha e a \Delta T. Se for usado outro valor de \alpha, multiplique os resultados pelo fator \alpha_{\text{novo}}/\alpha.
  • A contração do raio é da ordem de milímetros ( \sim 1{,}7\\ \mathrm{mm}), significativa para estruturas grandes; a da espessura é da ordem de micrômetros, muito pequena comparada à espessura inicial de 2\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\Delta R = -1{,}68\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = -1{,}68\\ \mathrm{mm}
\Delta t = -8{,}4\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = -0{,}84\\ \mu\mathrm{m}

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