Discuta porquê a dilatação linear de um sólido homogêneo têm a forma
onde
é o comprimento inicial,
é o coeficiente de dilatação linear e
a variação da temperatura.
Por que essa forma de dilatação linear não necessariamente se aplica a sólidos heterogêneos?
Por que essa forma de dilatação linear não necessariamente se aplica a sólidos heterogêneos?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) discutir por que a dilatação linear de um sólido homogêneo tem a forma
onde
) é o comprimento inicial,
) é o coeficiente de dilatação linear e
) a variação de temperatura; e (2) explicar por que essa mesma forma não se aplica necessariamente a sólidos heterogêneos.
Informações dadas explicitamente: a fórmula ) e os significados de ), ) e ).
Nada mais foi fornecido, portanto usaremos as hipóteses padrão por trás dessa fórmula (material homogêneo, isotrópico, aproximadamente constante e variação de temperatura relativamente pequena).
Informações dadas explicitamente: a fórmula ) e os significados de ), ) e ).
Nada mais foi fornecido, portanto usaremos as hipóteses padrão por trás dessa fórmula (material homogêneo, isotrópico,
Passo 2
Intuição física básica (por que os sólidos se dilatam). Quando a temperatura sobe, os átomos/moléculas vibram com maior amplitude e o equilíbrio médio entre forças atrativas e repulsivas desloca-se para distâncias médias maiores entre vizinhos. Isso causa aumento das dimensões macroscópicas. A ideia importante: a mudança absoluta de comprimento tende a ser proporcional ao comprimento inicial — se eu duplico o comprimento de uma barra, a mesma percentagem de aumento corresponde a um dobro da variação absoluta. Por isso buscamos uma relação do tipo “variação percentual × comprimento inicial = variação absoluta”.
Passo 3
Definição matemática do coeficiente de dilatação linear. Definimos
como a variação fracionária do comprimento por unidade de temperatura, isto é
Interpretação:
tem unidades de
(ou
) e diz qual a fração do comprimento que muda quando a temperatura varia uma unidade. Exemplo numérico rápido: se
,
e
, então a primeira aproximação dá
.
Passo 4
Derivação matemática sob a hipótese
constante. Partimos de
Separando variáveis:
Integramos entre o estado inicial
com comprimento
e o estado final
com comprimento
:
Se
for constante com
, a integração dá
ou
A variação absoluta é
Passo 5
Aproximação para variações pequenas (por que surge a forma linear). Para materiais usuais
é pequeno (
a
) e em provas típicas
também não é enorme, então o produto
é pequeno. Usando a expansão em série de Taylor da exponencial:
para
os termos quadráticos e superiores são desprezíveis, ficando
ou seja
que é a forma linear proposta. Aqui vemos claramente que a fórmula é uma aproximação de primeira ordem válida quando
é pequeno.
Passo 6
Resumo das hipóteses necessárias para a validade simples
. Para essa forma tão simples precisamos de:
-
efetivamente constante no intervalo de temperatura considerado; - material homogêneo (mesmo
em toda a peça); - temperatura uniforme ao longo do corpo (nenhuma variação espacial de
); - ausência de restrições mecânicas que impeçam a deformação livre;
- pequena variação
para justificar truncar a série exponencial na primeira ordem.
Se essas condições valem, o resultado linear é natural e fácil de usar na prova.
Passo 7
Como proceder quando
depende do tempo/posição ou da temperatura (caso mais geral). Se
varia com
ou com a posição
, a solução geral para o comprimento final é
no caso de variação com
, ou, para material com
e temperatura uniforme, a variação total para segmentos diferenciais é
o que dá
. Assim, para materiais não homogêneos a mudança de comprimento é, em geral, uma integral (ou soma) das contribuições locais, não simplesmente
com um único
global, a menos que se defina um
médio:
que só reduz ao caso simples se fizer sentido usar essa média (material em série sem acoplamentos mecânicos complexos).
Passo 8
Exemplo concreto de sólido heterogêneo: barra composta por dois materiais em série. Seja uma barra de comprimento total
) formada por dois trechos com coeficientes
e
. Se a temperatura variar em
(uniformemente) e se cada trecho se dilatar livremente, então
Isso pode ser escrito como
Observação: só conseguimos escrever na forma única com um
porque os dois trechos estavam livres e
era uniforme; em muitos casos reais os diferentes materiais estão mecanicamente acoplados e geram tensões internas que mudam o comportamento (ver passo seguinte).
Passo 9
Efeito de restrições, tensões térmicas e anisotropia (mais razões para a fórmula falhar). Em sólidos heterogêneos frequentemente ocorrem:
- tensões internas: se regiões com diferentes
são rigidamente ligadas, uma quer alongar mais que a outra; como não podem realizar essa expansão livremente surgem tensões internas que alteram a deformação real. Por exemplo, para uma barra totalmente presa, a dilatação livre é zero e em vez disso aparece uma tensão térmica aproximada por
onde
é o módulo de Young; nesse caso
não segue a fórmula livre.
- anisotropia: cristais ou materiais compósitos podem ter diferentes dilatações em direções diferentes; então
é um tensor , não um escalar, e a expansão linear escalar não descreve o fenômeno. - gradientes de temperatura: se
não é uniforme, cada ponto tem sua própria e você precisa integrar ao longo do corpo. - grande
: termos de ordem superior em deixam de ser desprezíveis e a dependência deixa de ser puramente linear.
Passo 10
Síntese final e dica de prova. A forma
é a aproximação de primeira ordem obtida assumindo material homogêneo/isotrópico,
constante e
. Para sólidos heterogêneos devemos pensar em somas ou integrais das dilatações locais, em possíveis médias ponderadas de
, e — muito importante — nas restrições mecânicas que geram tensões e mudam a deformação observada. Na prova: verifique sempre as hipóteses (homogeneidade, isotropia, temperatura uniforme, pequena variação); se alguma falhar, explique qual modelo mais geral usar (integração,
, análise de tensões).
Resposta
Não se aplica necessariamente a sólidos heterogêneos porque