Discuta porquê a dilatação linear de um sólido homogêneo têm a forma
\Delta L=\alpha L_{0} \Delta T
onde L_{0} é o comprimento inicial, \alpha é o coeficiente de dilatação linear e \Delta T a variação da temperatura.
Por que essa forma de dilatação linear não necessariamente se aplica a sólidos heterogêneos?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) discutir por que a dilatação linear de um sólido homogêneo tem a forma
\Delta L=\alpha L_{0}\Delta T,
onde \(L_{0}) é o comprimento inicial, \(\alpha) é o coeficiente de dilatação linear e \(\Delta T) a variação de temperatura; e (2) explicar por que essa mesma forma não se aplica necessariamente a sólidos heterogêneos.
Informações dadas explicitamente: a fórmula \(\Delta L=\alpha L_{0}\Delta T) e os significados de \(L_{0}), \(\alpha) e \(\Delta T).
Nada mais foi fornecido, portanto usaremos as hipóteses padrão por trás dessa fórmula (material homogêneo, isotrópico, \alpha aproximadamente constante e variação de temperatura relativamente pequena).

Passo 2

Intuição física básica (por que os sólidos se dilatam). Quando a temperatura sobe, os átomos/moléculas vibram com maior amplitude e o equilíbrio médio entre forças atrativas e repulsivas desloca-se para distâncias médias maiores entre vizinhos. Isso causa aumento das dimensões macroscópicas. A ideia importante: a mudança absoluta de comprimento tende a ser proporcional ao comprimento inicial — se eu duplico o comprimento de uma barra, a mesma percentagem de aumento corresponde a um dobro da variação absoluta. Por isso buscamos uma relação do tipo “variação percentual × comprimento inicial = variação absoluta”.

Passo 3

Definição matemática do coeficiente de dilatação linear. Definimos \alpha como a variação fracionária do comprimento por unidade de temperatura, isto é
\alpha=\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}.
Interpretação: \alpha tem unidades de \mathrm{K^{-1}} (ou \mathrm{^\circ C^{-1}}) e diz qual a fração do comprimento que muda quando a temperatura varia uma unidade. Exemplo numérico rápido: se \alpha=1\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}, L_{0}=1{,}0\\ \mathrm{m} e \Delta T=10\\ \mathrm{K}, então a primeira aproximação dá \Delta L\approx 1\times10^{-5}\times1\times10=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}1\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Derivação matemática sob a hipótese \alpha constante. Partimos de
\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}=\alpha.
Separando variáveis:
\frac{dL}{L}=\alpha\,dT.
Integramos entre o estado inicial T_{0} com comprimento L_{0} e o estado final T=T_{0}+\Delta T com comprimento L:
\int_{L_{0}}^{L}\frac{dL'}{L'}=\int_{T_{0}}^{T}\alpha\,dT'.
Se \alpha for constante com T, a integração dá
\ln\frac{L}{L_{0}}=\alpha\Delta T,
ou
L=L_{0}\,e^{\alpha\Delta T}.
A variação absoluta é
\Delta L = L-L_{0}=L_{0}\left(e^{\alpha\Delta T}-1\right).

Passo 5

Aproximação para variações pequenas (por que surge a forma linear). Para materiais usuais \alpha é pequeno ( \sim10^{-6} a 10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}) e em provas típicas \Delta T também não é enorme, então o produto \alpha\Delta T é pequeno. Usando a expansão em série de Taylor da exponencial:
e^{\alpha\Delta T}=1+\alpha\Delta T+\frac{(\alpha\Delta T)^{2}}{2!}+\cdots,
para \alpha\Delta T\ll1 os termos quadráticos e superiores são desprezíveis, ficando
\Delta L \approx L_{0}\left(\alpha\Delta T\right),
ou seja
\Delta L=\alpha L_{0}\Delta T,
que é a forma linear proposta. Aqui vemos claramente que a fórmula é uma aproximação de primeira ordem válida quando \alpha\Delta T é pequeno.

Passo 6

Resumo das hipóteses necessárias para a validade simples \Delta L=\alpha L_{0}\Delta T. Para essa forma tão simples precisamos de:
  1. \alpha efetivamente constante no intervalo de temperatura considerado;
  2. material homogêneo (mesmo \alpha em toda a peça);
  3. temperatura uniforme ao longo do corpo (nenhuma variação espacial de T);
  4. ausência de restrições mecânicas que impeçam a deformação livre;
  5. pequena variação \Delta T para justificar truncar a série exponencial na primeira ordem.
    Se essas condições valem, o resultado linear é natural e fácil de usar na prova.

Passo 7

Como proceder quando \alpha depende do tempo/posição ou da temperatura (caso mais geral). Se \alpha varia com T ou com a posição x, a solução geral para o comprimento final é
L=L_{0}\exp\!\left(\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')\,dT'\right)
no caso de variação com T, ou, para material com \alpha=\alpha(x) e temperatura uniforme, a variação total para segmentos diferenciais é
\Delta L=\int_{0}^{L_{0}}\alpha(x)\, \Delta T\, dx,
o que dá \Delta L=\Delta T\int_{0}^{L_{0}}\alpha(x)\,dx. Assim, para materiais não homogêneos a mudança de comprimento é, em geral, uma integral (ou soma) das contribuições locais, não simplesmente \alpha L_{0}\Delta T com um único \alpha global, a menos que se defina um \alpha_{\text{ef}} médio:
\alpha_{\text{ef}}=\frac{1}{L_{0}}\int_{0}^{L_{0}}\alpha(x)\,dx,
que só reduz ao caso simples se fizer sentido usar essa média (material em série sem acoplamentos mecânicos complexos).

Passo 8

Exemplo concreto de sólido heterogêneo: barra composta por dois materiais em série. Seja uma barra de comprimento total \(L_{0}=L_{1}+L_{2}) formada por dois trechos com coeficientes \alpha_{1} e \alpha_{2}. Se a temperatura variar em \Delta T (uniformemente) e se cada trecho se dilatar livremente, então
\Delta L=\alpha_{1}L_{1}\Delta T+\alpha_{2}L_{2}\Delta T.
Isso pode ser escrito como
\Delta L=\alpha_{\text{ef}}L_{0}\Delta T\quad\text{com}\quad \alpha_{\text{ef}}=\frac{\alpha_{1}L_{1}+\alpha_{2}L_{2}}{L_{0}}.
Observação: só conseguimos escrever na forma única com um \alpha_{\text{ef}} porque os dois trechos estavam livres e \Delta T era uniforme; em muitos casos reais os diferentes materiais estão mecanicamente acoplados e geram tensões internas que mudam o comportamento (ver passo seguinte).

Passo 9

Efeito de restrições, tensões térmicas e anisotropia (mais razões para a fórmula falhar). Em sólidos heterogêneos frequentemente ocorrem:
  • tensões internas: se regiões com diferentes \alpha são rigidamente ligadas, uma quer alongar mais que a outra; como não podem realizar essa expansão livremente surgem tensões internas que alteram a deformação real. Por exemplo, para uma barra totalmente presa, a dilatação livre é zero e em vez disso aparece uma tensão térmica aproximada por
\sigma\approx E\alpha\Delta T,
onde E é o módulo de Young; nesse caso \Delta L não segue a fórmula livre.
  • anisotropia: cristais ou materiais compósitos podem ter diferentes dilatações em direções diferentes; então \alpha é um tensor \boldsymbol{\alpha}, não um escalar, e a expansão linear escalar não descreve o fenômeno.
  • gradientes de temperatura: se \Delta T não é uniforme, cada ponto tem sua própria \Delta T(x) e você precisa integrar \alpha(x)\Delta T(x) ao longo do corpo.
  • grande \Delta T: termos de ordem superior em (\alpha\Delta T)^{2} deixam de ser desprezíveis e a dependência deixa de ser puramente linear.

Passo 10

Síntese final e dica de prova. A forma \Delta L=\alpha L_{0}\Delta T é a aproximação de primeira ordem obtida assumindo material homogêneo/isotrópico, \alpha constante e \alpha\Delta T\ll1. Para sólidos heterogêneos devemos pensar em somas ou integrais das dilatações locais, em possíveis médias ponderadas de \alpha, e — muito importante — nas restrições mecânicas que geram tensões e mudam a deformação observada. Na prova: verifique sempre as hipóteses (homogeneidade, isotropia, temperatura uniforme, pequena variação); se alguma falhar, explique qual modelo mais geral usar (integração, \alpha(T), análise de tensões).

Resposta

\Delta L=\alpha L_{0}\Delta T (válida como aproximação de primeira ordem para material homogêneo e isotrópico com \alpha constante e \alpha\Delta T\ll1).
Não se aplica necessariamente a sólidos heterogêneos porque \alpha pode variar espacialmente ou com T, pode haver restrições mecânicas e tensões internas, anisotropia ou gradientes de temperatura, exigindo soma/integral das dilatações locais ou análise mais completa (por exemplo \Delta L=\int_{0}^{L_{0}}\alpha(x)\,\Delta T(x)\,dx ou L=L_{0}\exp\!\big(\int_{T_{0}}^{T}\alpha(T')dT'\big)).

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