Um caminhão carregado pesando 16\left(10^{3}\right) lb acelera uniformemente num trecho horizontal de uma estrada, indo de 15 pés/s para 30 pés/s em 4 s . Se a resistência do atrito for de 325 lb , determine a potência máxima que deve ser entregue às rodas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pergunta o que se pede:
  • Peso do caminhão: 16\left(10^{3}\right) lb (ou seja 16000 lb).
  • Velocidade inicial: v_i=15 ft/s.
  • Velocidade final: v_f=30 ft/s.
  • Intervalo de tempo: \Delta t=4 s.
  • Força de resistência (atrito) constante: F_r=325 lb.
Pergunta: determinar a potência máxima que deve ser entregue às rodas.

Passo 2

Primeiro precisamos da aceleração uniforme. A aceleração média (aqui constante) é dada por mudança de velocidade dividida pelo tempo:
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}.
Substituindo os valores:
a=\frac{30-15}{4}=\frac{15}{4}=3,75\\ \text{ft/s}^2.
Explicação rápida: aceleração é quanto a velocidade varia por unidade de tempo; como a variação é de 15 ft/s em 4 s, dá 3,75 ft/s^2.

Passo 3

O peso W (em lb) não é a massa no sistema inglês; a massa m em slugs relaciona-se com o peso por
m=\frac{W}{g},
onde g é a aceleração da gravidade em ft/s^2. Usamos g=32,2 ft/s^2 (valor padrão em unidades inglesas). Assim
m=\frac{16000}{32,2}\approx 496,894\\ \text{slugs}.
Comentário didático: 1 slug \times 1 ft/s^2 gera 1 lb de força; por isso dividir o peso por g nos dá a “massa” no sistema de unidades usado aqui.

Passo 4

A força resultante necessária para produzir essa aceleração é F_{a}=m\,a. Calculamos:
F_{a}=496,894\cdot 3,75\approx 1863,353\\ \text{lb}.
Essa é a força adicional (além do atrito) que as rodas precisam fornecer para acelerar o caminhão.

Passo 5

A força total que as rodas devem exercer (força motriz entregue) deve compensar a resistência e ainda prover a força de aceleração. Logo:
F_{\text{drive}}=F_{a}+F_{r}=1863,353+325\approx 2188,353\\ \text{lb}.
Explicação: o motor/rodas têm que vencer o atrito e ainda aplicar a força necessária para acelerar o veículo; portanto as forças se somam.

Passo 6

A potência instantânea entregue às rodas é P=F_{\text{drive}}\cdot v, porque potência é força vezes velocidade (força na direção do movimento). Como F_{\text{drive}} é (aqui) praticamente constante durante essa aceleração (atrito dado constante e aceleração uniforme), a potência cresce com v. Portanto a potência máxima ocorrerá na maior velocidade do intervalo, que é v_f=30 ft/s. Então:
P_{\max}=F_{\text{drive}}\cdot v_f\approx 2188,353\cdot 30\approx 65650,6\\ \text{ft}\cdot\text{lb/s}.
Breve lembrete: multiplicamos força (lb) por velocidade (ft/s) para obter ft·lb/s, que é unidade de potência.

Passo 7

Normalmente expressamos potência em cavalos-vapor (hp). A relação é 1\\ \text{hp}=550\\ \text{ft}\cdot\text{lb/s}. Assim:
P_{\max\\ (\text{hp})}=\frac{65650,6}{550}\approx 119,3647\\ \text{hp}\approx 119,4\\ \text{hp}.
Arredondei para uma casa decimal, que é razoável para esse tipo de problema.

Resposta

P_{\max}\approx 65650,6\\ \text{ft}\cdot\text{lb/s}
P_{\max}\approx 119,4\\ \text{hp}

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