De uma torre a 50 pés do solo, atira-se verticalmente para baixo uma bola de beisebol com uma velocidade de 18 pés/s. Determine o tempo que a bola leva para chegar ao solo, assim como a velocidade com que ela chega.

Passo 1

O enunciado dá: uma bola é lançada verticalmente para baixo a partir de uma torre que está a 50 pés do solo, com velocidade inicial para baixo de 18 pés/s. Pede-se: (1) o tempo que a bola leva para atingir o solo; (2) a velocidade com que ela chega ao solo.
Informações relevantes listadas:
  • Altura inicial (distância até o solo): 50 pés.
  • Velocidade inicial: 18 pés/s para baixo.
  • Aceleração da gravidade (valor padrão usado em pés): g \approx 32 pés/s ^2 para baixo.

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência simples e explicamos as variáveis (isso evita confusão na hora da prova):
  • Tomamos a posição y(t) medida a partir do ponto de soltura da bola, positiva para baixo. Assim, quando a bola atingir o solo, a sua posição será y=50 pés.
  • Velocidade instantânea: v(t) (em pés/s), com v(0)=v_0.
  • Aceleração: a (em pés/s ^2), que aqui é constante e vale a=g=32 pés/s ^2 (para baixo).
  • Dados numéricos em símbolos: y(0)=0, y_{\text{solo}}=50, v_0=18 (positivo porque escolhemos para baixo como positivo), a=32.

Passo 3

Apresentamos a fórmula de movimento uniformemente acelerado e explicamos cada termo:
A equação da posição para aceleração constante é
y(t)=y(0)+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui: y(t) é a posição no tempo t, y(0) é a posição inicial, v_0 é a velocidade inicial, a é a aceleração. Como medimos a posição a partir da soltura, y(0)=0. Para achar o tempo de queda, impomos y(t)=50 (chegar ao solo).

Passo 4

Substituímos os valores na equação:
50 = 0 + 18 t + \tfrac{1}{2}\cdot 32 \, t^2.
Simplificando o termo quadrático:
50 = 18 t + 16 t^2.
Reorganizando para formar uma equação quadrática padrão:
16 t^2 + 18 t - 50 = 0.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação \displaystyle at^2+bt+c=0, as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=16, b=18, c=-50. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 18^2 - 4\cdot 16 \cdot (-50).
Compute passo a passo:
18^2 = 324,
4\cdot 16 \cdot 50 = 64\cdot 50 = 3200,
como c é negativo, subtrair 4ac vira soma:
\Delta = 324 + 3200 = 3524.
Portanto
\sqrt{\Delta} = \sqrt{3524} = 2\sqrt{881}\approx 59{,}36.
Agora a raiz positiva (tempo deve ser positiva):
t=\frac{-18 + \sqrt{3524}}{2\cdot 16}=\frac{-18 + 59{,}36}{32}=\frac{41{,}36}{32}\approx 1{,}2925\\ \text{s}.
A outra raiz é negativa e física-mente irrelevante (tempo negativo), então descartamos.

Passo 6

Agora calculamos a velocidade ao atingir o solo. Usamos a fórmula da velocidade em movimento uniformemente acelerado:
v(t)=v_0 + a t.
Substituindo v_0=18, a=32, t\approx 1{,}2925:
v \approx 18 + 32\cdot 1{,}2925 = 18 + 41{,}36 = 59{,}36\\ \text{pés/s}.é
Como escolhemos a direção para baixo como positiva, o sinal positivo indica que a velocidade é para baixo. Podemos também verificar por conservação de energia/velocidade usando
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y,
que dá
v^2 = 18^2 + 2\cdot 32 \cdot 50 = 324 + 3200 = 3524,
logo v=\sqrt{3524}\approx 59{,}36 pés/s, consistente com o cálculo anterior.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o tempo de queda é cerca de 1{,}29 s — rápido, né? A velocidade ao chegar no solo é cerca de 59{,}4 pés/s para baixo. Se estiver nervoso na prova, lembre deste passo-a-passo: escolha o sinal, escreva a equação do movimento e resolva a quadrática; é método seguro.

Resposta

Tempo: t\approx 1{,}2925\\ \text{s}
Velocidade ao chegar: v\approx 59{,}36\\ \text{pés/s}é (para baixo)

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