De uma torre a 50 pés do solo, atira-se verticalmente para baixo uma bola de beisebol com uma velocidade de 18 pés/s. Determine o tempo que a bola leva para chegar ao solo, assim como a velocidade com que ela chega.
Passo 1
O enunciado dá: uma bola é lançada verticalmente para baixo a partir de uma torre que está a
pés do solo, com velocidade inicial para baixo de
pés/s. Pede-se: (1) o tempo que a bola leva para atingir o solo; (2) a velocidade com que ela chega ao solo.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Altura inicial (distância até o solo):
pés. - Velocidade inicial:
pés/s para baixo. - Aceleração da gravidade (valor padrão usado em pés):
pés/s para baixo.
Passo 2
Escolhemos um sistema de referência simples e explicamos as variáveis (isso evita confusão na hora da prova):
- Tomamos a posição
medida a partir do ponto de soltura da bola, positiva para baixo. Assim, quando a bola atingir o solo, a sua posição será pés. - Velocidade instantânea:
(em pés/s), com . - Aceleração:
(em pés/s ), que aqui é constante e vale pés/s (para baixo). - Dados numéricos em símbolos:
, , (positivo porque escolhemos para baixo como positivo), .
Passo 3
Apresentamos a fórmula de movimento uniformemente acelerado e explicamos cada termo:
A equação da posição para aceleração constante é
A equação da posição para aceleração constante é
Aqui:
é a posição no tempo
,
é a posição inicial,
é a velocidade inicial,
é a aceleração. Como medimos a posição a partir da soltura,
. Para achar o tempo de queda, impomos
(chegar ao solo).
Passo 4
Substituímos os valores na equação:
Simplificando o termo quadrático:
Reorganizando para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Compute passo a passo:
como
é negativo, subtrair
vira soma:
Portanto
Agora a raiz positiva (tempo deve ser positiva):
A outra raiz é negativa e física-mente irrelevante (tempo negativo), então descartamos.
Passo 6
Agora calculamos a velocidade ao atingir o solo. Usamos a fórmula da velocidade em movimento uniformemente acelerado:
Substituindo
,
,
:
Como escolhemos a direção para baixo como positiva, o sinal positivo indica que a velocidade é para baixo. Podemos também verificar por conservação de energia/velocidade usando
que dá
logo
pés/s, consistente com o cálculo anterior.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: o tempo de queda é cerca de
s — rápido, né? A velocidade ao chegar no solo é cerca de
pés/s para baixo. Se estiver nervoso na prova, lembre deste passo-a-passo: escolha o sinal, escreva a equação do movimento e resolva a quadrática; é método seguro.
Resposta
Tempo:
Velocidade ao chegar: (para baixo)
Velocidade ao chegar: