Se o campo eléctrico ao longo de um condutor E=E_{0} \cos (\omega t), escreva a amplitude e a fase da densidade da corrente eléctrica, j, utilizando a condutividade \sigma(\omega)= \sigma_{0} /(1+i \omega \tau).

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico ao longo de um condutor
E(t)=E_{0}\cos(\omega t)
e pede a amplitude e a fase da densidade de corrente j(t), sabendo que a condutividade é
\sigma(\omega)=\frac{\sigma_{0}}{1+i\omega\tau}.
Para resolver, vamos usar a representação em fasores: escrevemos E(t)=\Re\{ \tilde E\,e^{i\omega t}\} e j(t)=\Re\{\tilde j\,e^{i\omega t}\}, com a lei de Ohm complexa \tilde j=\sigma(\omega)\,\tilde E.

Passo 2

Identificamos o fasor do campo elétrico. Como
E(t)=E_{0}\cos(\omega t)=\Re\{E_{0}e^{i\omega t}\},
temos
\tilde E = E_{0}\quad(\text{real e positivo}).

Passo 3

Aplicando \tilde j=\sigma(\omega)\,\tilde E, obtemos
\tilde j =\frac{\sigma_{0}}{1+i\omega\tau}\;E_{0} =\frac{\sigma_{0}E_{0}}{1+i\omega\tau}.

Passo 4

Para extrair amplitude e fase, escrevemos em forma retangular multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+i\omega\tau:
\tilde j =\sigma_{0}E_{0}\,\frac{1 - i\omega\tau}{(1+i\omega\tau)(1-i\omega\tau)} =\sigma_{0}E_{0}\,\frac{1 - i\omega\tau}{1+(\omega\tau)^{2}}.
Logo a amplitude é
j_{0} = \bigl|\tilde j\bigr| =\frac{\sigma_{0}E_{0}}{\sqrt{1+(\omega\tau)^{2}}}
e a fase (argumento de \tilde j) é
\varphi = \arg(1 - i\omega\tau) =-\arctan(\omega\tau).

Passo 5

Voltando ao tempo real, a densidade de corrente é
j(t)=j_{0}\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr) =\frac{\sigma_{0}E_{0}}{\sqrt{1+(\omega\tau)^{2}}} \;\cos\!\bigl(\omega t - \arctan(\omega\tau)\bigr).

Resposta

Amplitude:
j_{0}=\frac{\sigma_{0}E_{0}}{\sqrt{1+(\omega\tau)^{2}}},
Fase:
\varphi=-\arctan(\omega\tau).

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