O sódio tem uma densidade de 0.9712 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm}^{-3} e uma massa atómica de 22.99 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. A resistividade a 292 K vale \rho=4,77 \times 10^{-8} \Omega \cdot m. O coeficiente do calor específico observado é de \gamma_{\text {obs }}=1,38 \mathrm{~mJ} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-2} enquanto que \gamma_{\text {calculado }}=1.094 \mathrm{~mJ} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-2}.
(a) Estime a concentração electrónica no sódio;
(b) Estime o momento e o comprimento de onda de Fermi;
(c) Calcule a massa efectiva e a energia de Fermi, assumindo a dispersão parabólica.
(d) Estime o tempo médio entre colisões.
(e) Estime o caminho livre médio.

Passo 1

O enunciado fornece dados para o sódio metálico e pede propriedades eletrônicas no modelo de elétrons livres:
– densidade de massa \rho_m=0{,}9712 g/cm ^3, massa molar M=22{,}99 g/mol,
– resistividade \rho=4,77\times10^{-8}, \Omega\cdot m,
– coeficientes \gamma_{\rm obs}=1{,}38,m J\cdot mol ^{-1}·K ^{-2} e \gamma_{\rm calc}=1{,}094,m J\cdot mol ^{-1}·K ^{-2}.
Vamos usar: conversão de densidade em número de elétrons n, relações do gás de elétrons livres (Fermi sphere), coeficiente de Sommerfeld \gamma, fórmula de Drude para \tau e \ell.

Passo 2

Calculemos a concentração eletrônica n. Primeiro convertemos a densidade de massa para kg/m ^3 e a massa molar para kg/mol:
\rho_m = 0{,}9712\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} =971{,}2\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}, \quad M=22{,}99\;\frac{\text{g}}{\text{mol}}=0{,}02299\;\frac{\text{kg}}{\text{mol}}.
O número de mols por m ^3 é
\frac{\rho_m}{M} =\frac{971{,}2}{0{,}02299} \approx4{,}226\times10^{4}\;\frac{\text{mol}}{\text{m}^3}.
Multiplicando por N_A=6{,}022\times10^{23} átomos/mol e assumindo 1 elétron de condução por átomo,
n =4{,}226\times10^{4}\times6{,}022\times10^{23} \approx2{,}55\times10^{28}\;\text{elétrons/m}^3.é

Passo 3

A partir de n determinamos o vetor de Fermi k_F, o momento de Fermi p_F e o comprimento de onda de Fermi \lambda_F:
k_F = \bigl(3\pi^2 n\bigr)^{1/3},
p_F = \hbar\,k_F,
\lambda_F = \frac{2\pi}{k_F}.
Numericamente,
k_F\approx\bigl(3\pi^2\times2{,}55\times10^{28}\bigr)^{1/3}\approx9{,}1\times10^{9}\;\text{m}^{-1},
p_F =1{,}055\times10^{-34}\times9{,}1\times10^{9} \approx9{,}6\times10^{-25}\;\text{kg\cdotm/s},
\lambda_F=\frac{2\pi}{9{,}1\times10^{9}}\approx6{,}9\times10^{-10}\;\text{m}.

Passo 4

Do coeficiente de Sommerfeld \gamma\propto m^*, obtemos a massa efetiva:
\frac{m^*}{m_e} =\frac{\gamma_{\rm obs}}{\gamma_{\rm calc}} =\frac{1{,}38}{1{,}094} \approx1{,}26,
logo m^*=1{,}26\,m_e.
A energia de Fermi no modelo parabólico é
E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2\,m^*}.
Substituindo,
E_F \approx\frac{(1{,}055\times10^{-34})^2\,(9{,}1\times10^{9})^2}{2\times1{,}26\times9{,}11\times10^{-31}} \approx4{,}0\times10^{-19}\;\text{J}\;(\approx2{,}5\;\text{eV}).

Passo 5

No modelo de Drude, a resistividade satisfaz
\rho = \frac{m^*}{n\,e^2\,\tau},
de onde o tempo médio entre colisões é
\tau =\frac{m^*}{n\,e^2\,\rho}.
Com e=1{,}602\times10^{-19} C, m^*=1{,}26\times9{,}11\times10^{-31} kg e os valores de n e \rho,
\tau\approx\frac{1{,}15\times10^{-30}}{2{,}55\times10^{28}\,(1{,}602\times10^{-19})^2\,4{,}77\times10^{-8}} \approx3{,}7\times10^{-14}\;\text{s}.

Passo 6

O caminho livre médio \ell é dado por
v_F = \frac{p_F}{m^*}, \quad \ell = v_F\,\tau.
Calculando v_F =9{,}6\times10^{-25}/1{,}15\times10^{-30}\approx8,4\times10^{5} m/s,
\ell =8,4\times10^{5}\times3{,}7\times10^{-14} \approx3{,}1\times10^{-8}\;\text{m}.

Resposta

(a) n\approx2,55\times10^{28} m ^{-3}
(b) p_F\approx9,6\times10^{-25} k g\cdot m/s, \lambda_F\approx6,9\times10^{-10} m
(c) m^*\approx1,26\,m_e, E_F\approx4,0\times10^{-19} J ( \approx2,5 eV)
(d) \tau\approx3,7\times10^{-14} s
(e) \ell\approx3,1\times10^{-8} m

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