Um campo elétrico E=E0 cos omega t i é aplicado em um dielétrico possuindo varepsilonr=20. Se E0=100 V / m e omega=10^9 rad / s, calcule o valor de pico da densidade de corrente de deslocamento que se estabelece no dielétrico.

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo elétrico
E(t)=E0cos(omega t),i
aplicado a um dielétrico com permitividade relativa varepsilonr=20. Os dados são
- E0=100 V/m
- omega=10^9 rad/s
O que a questão pede é o valor de pico da densidade de corrente de deslocamento no dielétrico.
Conteúdo envolvido: eletromagnetismo (corrente de deslocamento de Maxwell), definição de D e relação Jd=partialD/partial t.

Passo 2

Primeiro, lembramos que em um dielétrico a densidade de deslocamento D é
D(t)=varepsilon,E(t),,com varepsilon=varepsilonr,varepsilon0,
E a corrente de deslocamento é dada por
Jd(t)=partialDpartial t,

Passo 3

Vamos calcular Jd(t) passo a passo:
  1. Escreve D(t)=varepsilon,E0cos(omega t),i.
  2. Deriva em relação a t:
$$\mathbf{J}_d(t)=\varepsilon,E_0\frac{d}{dt}[\cos(\omega t)],\mathbf{i}
=-\varepsilon,E_0,\omega,\sin(\omega t),\mathbf{i},. $$

Passo 4

O valor de pico (amplitude) de Jd(t) ocorre quando |sin(omega t)|=1. Logo
$$J_{d,pico}=\varepsilon,E_0,\omega
=\varepsilon_r,\varepsilon_0,E_0,\omega,. $$
Agora substituímos os números:
- Jd,pico=varepsilon,E0,omega =varepsilonr,varepsilon0,E0,omega,
- varepsilon0=8,854times10^-12 F/m
- varepsilonr=20
- E0=100 V/m
Calculando:
omega=10^9 rad/s

Resposta

O valor de pico da densidade de corrente de deslocamento é
boxedJd,picoapprox17,7 A/m^2,

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