Um isolante dielétrico possuindo baixa condutividade é colocado entre as duas placas de um capacitor de placas planas conectado a uma fonte AC. Suas características são:
e
. A fonte de voltagem é dada por
Calcule a frequência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução no dielétrico.
Passo 1
Então, temos um capacitor de placas paralelas ligado a uma fonte de tensão alternada (AC). Entre as placas, coloca-se um material isolante chamado dielétrico, que tem uma baixa condutividade. As características dadas são:
- Condutividade elétrica: $ \sigma = 4 , S/m $
- Permitividade elétrica: $ \varepsilon = 8 , \varepsilon_{0} $ (onde $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo)
- Fonte de tensão: $ V = \cos(\omega t) $
Precisamos encontrar a frequência $ \omega $ para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução no dielétrico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de corrente de condução e corrente de deslocamento em capacitores com dielétricos em regime AC.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas correntes:
-
Corrente de condução ($ J_c $): relacionada ao fluxo de cargas livres no material. É dada por:onde $ \sigma $ é a condutividade e $ E $ é o campo elétrico.
-
Corrente de deslocamento ($ J_d $): relacionada à variação do campo elétrico no tempo. É dada por:onde $ \varepsilon $ é a permissividade do material.
Passo 3
Como estamos lidando com um capacitor ligado a uma fonte de tensão $ V = \cos(\omega t) $, podemos relacionar o campo elétrico $ E $ com a tensão pela distância entre as placas $ d $:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do campo elétrico em relação ao tempo para encontrar $ \frac{dE}{dt} $:
Passo 5
Agora, substituímos $ E $ e $ \frac{dE}{dt} $ nas expressões de $ J_c $ e $ J_d $:
-
Corrente de condução:
-
Corrente de deslocamento:
Passo 6
Queremos que $ J_c = J_d $. Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar $ d $ de ambos os lados:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\omega t) $ (considerando que $ \cos(\omega t) \neq 0 $):
Para que essa igualdade seja válida para todos os tempos $ t $, a única possibilidade é que os coeficientes sejam iguais a zero, o que não é nosso caso. Na verdade, a condição ocorre quando as amplitudes das correntes são iguais. Portanto, igualamos os módulos das amplitudes:
Passo 8
Agora, resolvemos para $ \omega $:
Substituindo os valores fornecidos ($ \varepsilon = 8 , \varepsilon_{0} $ e $ \sigma = 4 , S/m $):
Resposta
A frequência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução no dielétrico é $ \omega = \frac{1}{2 , \varepsilon_{0}} $.