Um isolante dielétrico possuindo baixa condutividade é colocado entre as duas placas de um capacitor de placas planas conectado a uma fonte AC. Suas características são: sigma=4 S / m e varepsilon=8 varepsilon0. A fonte de voltagem é dada por V=cos omega t Calcule a frequência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução no dielétrico.

Passo 1

Então, temos um capacitor de placas paralelas ligado a uma fonte de tensão alternada (AC). Entre as placas, coloca-se um material isolante chamado dielétrico, que tem uma baixa condutividade. As características dadas são:
  • Condutividade elétrica: $ \sigma = 4 , S/m $
  • Permitividade elétrica: $ \varepsilon = 8 , \varepsilon_{0} $ (onde $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo)
  • Fonte de tensão: $ V = \cos(\omega t) $
Precisamos encontrar a frequência $ \omega $ para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução no dielétrico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de corrente de condução e corrente de deslocamento em capacitores com dielétricos em regime AC.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas correntes:
  • Corrente de condução ($ J_c $): relacionada ao fluxo de cargas livres no material. É dada por:
    Jc
    onde $ \sigma $ é a condutividade e $ E $ é o campo elétrico.
  • Corrente de deslocamento ($ J_d $): relacionada à variação do campo elétrico no tempo. É dada por:
    Jc = sigma E
    onde $ \varepsilon $ é a permissividade do material.

Passo 3

Como estamos lidando com um capacitor ligado a uma fonte de tensão $ V = \cos(\omega t) $, podemos relacionar o campo elétrico $ E $ com a tensão pela distância entre as placas $ d $:
V = cos(omega t)

Passo 4

Vamos calcular a derivada do campo elétrico em relação ao tempo para encontrar $ \frac{dE}{dt} $:
dEdt

Passo 5

Agora, substituímos $ E $ e $ \frac{dE}{dt} $ nas expressões de $ J_c $ e $ J_d $:
  • Corrente de condução:
    E
  • Corrente de deslocamento:
    dEdt

Passo 6

Queremos que $ J_c = J_d $. Igualando as duas expressões:
Jc = Jd
Podemos simplificar $ d $ de ambos os lados:
sigma cdot cos(omega t)d = -varepsilon omega sin(omega t)d

Passo 7

Dividindo ambos os lados por $ \cos(\omega t) $ (considerando que $ \cos(\omega t) \neq 0 $):
cos(omega t)
Para que essa igualdade seja válida para todos os tempos $ t $, a única possibilidade é que os coeficientes sejam iguais a zero, o que não é nosso caso. Na verdade, a condição ocorre quando as amplitudes das correntes são iguais. Portanto, igualamos os módulos das amplitudes:
cos(omega t) neq 0

Passo 8

Agora, resolvemos para $ \omega $:
omega
Substituindo os valores fornecidos ($ \varepsilon = 8 , \varepsilon_{0} $ e $ \sigma = 4 , S/m $):
omega = sigmavarepsilon

Resposta

A frequência para a qual a densidade de corrente de deslocamento é igual à densidade de corrente de condução no dielétrico é $ \omega = \frac{1}{2 , \varepsilon_{0}} $.

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