(b) Calcular \displaystyle \int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA e interpretar fisicamente o resultado.
Informações úteis que já temos do enunciado:
O contorno \partial S é o círculo de raio 4 no plano z=0: x^{2}+y^{2}=16,\\ z=0.
A normal natural ao hemisfério (normal externa da esfera) tem componente z positiva sobre o hemisfério superior.
Passo 2
Primeiro, para decidir se o campo é conservativo vamos calcular o rotor (curl). Lembrete didático: um campo vetorial \overrightarrow{F} é conservativo em uma região simplesmente conexa se, e somente se, \nabla\times\overrightarrow{F}=\mathbf{0}. Aqui vamos calcular
\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}}
usando a definição com determinante (regra prática): para \overrightarrow{\mathcal{E}}=(E_x,E_y,E_z),
Como o rotor não é o vetor nulo (por exemplo a componente y e z não são identicamente nulas), concluímos que o campo não é conservativo na região considerada (a menos que se restrinja a uma região muito especial onde essas componentes se anulem, mas o enunciado pede a resposta global).
Isto significa que a integral do rotor sobre a superfície dá a circulação total do campo ao longo do contorno. Na prática é muitas vezes mais simples aplicar Stokes substituindo S por outra superfície com o mesmo contorno, desde que a orientação seja escolhida de forma consistente.
Passo 5
Escolho a superfície alternativa D: o disco plano no plano z=0 limitado por x^{2}+y^{2}\le 16. Explicação de orientação (muito importante para a prova): a normal externa da esfera no hemisfério superior tem componente z positiva (a normal radial em cima aponta para cima em sua componente z). Logo a orientação do contorno induzida por essa normal é a mesma que a induzida pela normal para cima \hat{\mathbf{k}} do disco. Assim posso usar o disco com normal \hat{\mathbf{k}} e aplicar Stokes sem trocar o sinal.
Agora, por simetria, \iint_{D} y\,dA=0 porque o disco é simétrico em relação ao eixo x e a função y é ímpar em y: para cada ponto (x,y) existe (x,-y) com contribuições opostas. Portanto o primeiro termo desaparece. O segundo termo é a área do disco:
Interpretação física (didática e direta): o vetor \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}} mede a rotação local (a densidade de circulação) do campo elétrico. A integral de superfície \iint_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA dá a circulação total de \overrightarrow{\mathcal{E}} ao longo do contorno \partial S (Teorema de Stokes). O valor -16\pi significa que existe uma circulação líquida não nula ao redor do círculo de raio 4; o sinal negativo indica a direção da circulação relativa à orientação escolhida da normal (no nosso caso a circulação é no sentido oposto ao sentido positivo induzido pela normal escolhida). Como esperado, campo não conservativo e circulação total ao redor do contorno é diferente de zero.
Resposta
(a) Não, \overrightarrow{\mathcal{E}} não é conservativo.
(b) \displaystyle \int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=-16\pi. A interpretação física: esse valor é a circulação total de \overrightarrow{\mathcal{E}} ao longo do contorno (círculo de raio 4); o resultado não nulo confirma que o campo apresenta rotação (não é conservativo).