Um campo elétrico é dado por
\overrightarrow{\mathcal{E}}=\left(x^{2}+y-4\right) \hat{\mathbf{i}}+3 x y \hat{\mathbf{j}}+\left(2 x z+z^{2}\right) \hat{\mathbf{k}} .
Considere uma superfície S dada pelo hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 acima do plano x y.
(a) \overrightarrow{\mathcal{E}} é conservativo?
(b) Calcule
\int_{S}(\nabla \times \overrightarrow{\mathcal{E}}) \cdot \hat{\mathbf{n}} d A
Interprete fisicamente o resultado da integral acima.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\overrightarrow{\mathcal{E}}=\left(x^{2}+y-4\right)\hat{\mathbf{i}}+3xy\\ \hat{\mathbf{j}}+\left(2xz+z^{2}\right)\hat{\mathbf{k}}
e a superfície S que é o hemisfério
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16,\qquad z\ge 0.
As perguntas são:
  1. (a) \overrightarrow{\mathcal{E}} é conservativo?
  2. (b) Calcular \displaystyle \int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA e interpretar fisicamente o resultado.
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • O contorno \partial S é o círculo de raio 4 no plano z=0: x^{2}+y^{2}=16,\\ z=0.
  • A normal natural ao hemisfério (normal externa da esfera) tem componente z positiva sobre o hemisfério superior.

Passo 2

Primeiro, para decidir se o campo é conservativo vamos calcular o rotor (curl). Lembrete didático: um campo vetorial \overrightarrow{F} é conservativo em uma região simplesmente conexa se, e somente se, \nabla\times\overrightarrow{F}=\mathbf{0}. Aqui vamos calcular
\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}}
usando a definição com determinante (regra prática): para \overrightarrow{\mathcal{E}}=(E_x,E_y,E_z),
\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}}= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}}\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}.
Vou aplicar isso componente a componente, mostrando as derivadas usadas (é importante praticar esse cálculo para a prova).]

Passo 3

Calculemos as componentes do rotor:
Com E_x=x^{2}+y-4,\\ E_y=3xy,\\ E_z=2xz+z^{2}.
  • Componente x:
(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})_x=\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}.
Aqui \partial E_z/\partial y=0 (pois E_z não depende de y) e \partial E_y/\partial z=0 (pois E_y não depende de z). Logo
(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})_x=0.
  • Componente y:
(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})_y=\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}.
Temos \partial E_x/\partial z=0 (pois E_x não depende de z) e \partial E_z/\partial x=\partial(2xz+z^2)/\partial x=2z. Portanto
(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})_y=0-2z=-2z.
  • Componente z:
(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}.
Temos \partial E_y/\partial x=\partial(3xy)/\partial x=3y e \partial E_x/\partial y=\partial(x^2+y-4)/\partial y=1. Então
(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})_z=3y-1.
Portanto
\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}}=(0,\\\ -2z,\\\ 3y-1).
Como o rotor não é o vetor nulo (por exemplo a componente y e z não são identicamente nulas), concluímos que o campo não é conservativo na região considerada (a menos que se restrinja a uma região muito especial onde essas componentes se anulem, mas o enunciado pede a resposta global).

Passo 4

Agora vamos calcular a integral de superfície
\iint_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA.
Lembrete didático: o Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada S com contorno \partial S,
\iint_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=\oint_{\partial S}\overrightarrow{\mathcal{E}}\cdot d\overrightarrow{r}.
Isto significa que a integral do rotor sobre a superfície dá a circulação total do campo ao longo do contorno. Na prática é muitas vezes mais simples aplicar Stokes substituindo S por outra superfície com o mesmo contorno, desde que a orientação seja escolhida de forma consistente.

Passo 5

Escolho a superfície alternativa D: o disco plano no plano z=0 limitado por x^{2}+y^{2}\le 16. Explicação de orientação (muito importante para a prova): a normal externa da esfera no hemisfério superior tem componente z positiva (a normal radial em cima aponta para cima em sua componente z). Logo a orientação do contorno induzida por essa normal é a mesma que a induzida pela normal para cima \hat{\mathbf{k}} do disco. Assim posso usar o disco com normal \hat{\mathbf{k}} e aplicar Stokes sem trocar o sinal.
Portanto, pela identidade de Stokes,
\iint_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA = \iint_{D}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{k}}\,dA.

Passo 6

Extraímos a componente z do rotor (pois \hat{\mathbf{k}} seleciona a componente z):
(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{k}}=(3y-1).
No disco D temos z=0, mas isso já foi usado quando calculamos a componente z (não há z ali). Então a integral fica
\iint_{D}(3y-1)\,dA=\;3\iint_{D}y\,dA\;-\;\iint_{D}1\,dA.
Agora, por simetria, \iint_{D} y\,dA=0 porque o disco é simétrico em relação ao eixo x e a função y é ímpar em y: para cada ponto (x,y) existe (x,-y) com contribuições opostas. Portanto o primeiro termo desaparece. O segundo termo é a área do disco:
\iint_{D}1\,dA=\text{Área}(D)=\pi (4)^{2}=16\pi.Á
Assim
\iint_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=-16\pi.

Passo 7

Interpretação física (didática e direta): o vetor \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}} mede a rotação local (a densidade de circulação) do campo elétrico. A integral de superfície \iint_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA dá a circulação total de \overrightarrow{\mathcal{E}} ao longo do contorno \partial S (Teorema de Stokes). O valor -16\pi significa que existe uma circulação líquida não nula ao redor do círculo de raio 4; o sinal negativo indica a direção da circulação relativa à orientação escolhida da normal (no nosso caso a circulação é no sentido oposto ao sentido positivo induzido pela normal escolhida). Como esperado, campo não conservativo e circulação total ao redor do contorno é diferente de zero.

Resposta

(a) Não, \overrightarrow{\mathcal{E}} não é conservativo.
(b) \displaystyle \int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{E}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=-16\pi. A interpretação física: esse valor é a circulação total de \overrightarrow{\mathcal{E}} ao longo do contorno (círculo de raio 4); o resultado não nulo confirma que o campo apresenta rotação (não é conservativo).

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