\overrightarrow{\mathcal{B}}=\left[\left(z-x+x^{2}\right) \hat{\mathbf{i}}-(2 x y+x) \hat{\mathbf{j}}+(z+2) \hat{\mathbf{k}}\right] t,
onde t é o tempo e S é uma superfície circular definida no plano x y pelo contorno \mathcal{C} dado por x^{2}+y^{2}=1.
(a) Encontre o fluxo \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}} de \overrightarrow{\mathcal{B}} através da superfície S. Pode ser útil mudar de coordenadas. Há fem induzida no circuito \mathcal{C} ? E quanto vale?
(b) Encontre a circulação de \overrightarrow{\mathcal{B}} em torno do contorno \mathcal{C}. O que significa fisicamente?
(c) Calcule o fluxo de \nabla \times \overrightarrow{\mathcal{B}} através de S e verifique se o teorema de Stokes é satisfeito.
[Lembre-se que a força eletromotriz induzida por um campo magnético é igual a:
\left.\varepsilon=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \overrightarrow{\mathcal{B}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d A .\right]
onde t é o tempo. A superfície S é o disco do plano x y delimitado pelo contorno \mathcal{C} dado por x^{2}+y^{2}=1.\n
As perguntas são:
(a) Calcular o fluxo \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}} de \overrightarrow{\mathcal{B}} através de S. Pergunta adicional: há fem induzida no circuito \mathcal{C}? Qual é o valor da fem? (Foi dada a fórmula \varepsilon=-\dfrac{\partial}{\partial t}\int_{S}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA.)
(b) Calcular a circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} ao longo de \mathcal{C}. Pedir o significado físico dessa quantidade.
(c) Calcular o fluxo de \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}} através de S e verificar o teorema de Stokes (comparar com a circulação do item (b)).\n
Informações úteis já visíveis: a superfície S está no plano z=0; o contorno \mathcal{C} é o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1 no plano z=0.
Passo 2
Definição de fluxo e escolha da normal. O fluxo de um campo através de uma superfície S é
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal à superfície com orientação escolhida. Aqui é natural escolher a orientação “para cima”, i.e. \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}} (vetor normal ao plano xy apontando no sentido positivo de z).\n
Na superfície S temos z=0. Então, primeiro avaliamos a componente z de \overrightarrow{\mathcal{B}} em z=0. A componente z do campo é (z+2)t. Substituindo z=0 obtemos
Portanto, sobre todo o disco a integranda é constante 2t. Agora escrevemos o elemento de área do disco em coordenadas polares: dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. Assim
Como \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=2\pi t, diferenciando em relação a t obtemos
\varepsilon=-\frac{d}{dt}(2\pi t)=-2\pi.
Portanto existe fem induzida não nula e de valor constante \varepsilon=-2\pi (sinal negativo indica orientação de acordo com a regra de Lenz relativa à escolha de \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}).\n
Comentário físico rápido e amigável: esse resultado significa que, como o fluxo magnético pelo disco cresce linearmente com t, há uma fem induzida constante que tende a se opor a esse aumento do fluxo (isso é a essência da lei de Faraday-Lenz).
Passo 4
Cálculo da circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r}. Vamos parametrizar o contorno \mathcal{C} (círculo unitário em z=0) por
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0 (função periódica com média zero).
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta=0 (faça a substituição u=\cos\theta, é uma primitiva periódica que se repete).
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi (média de \cos^{2} é 1/2, multiplicando pelo comprimento 2\pi dá \pi).\n
Assim a integral total é
\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} = t\bigl(0-3\cdot 0 - \pi\bigr) = -\pi t.
Interpretação física (simples e direta): a circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} mede o “giro total” do campo \overrightarrow{\mathcal{B}} ao longo do contorno \mathcal{C}. Em eletromagnetismo está relacionada, via a lei de Ampère-Maxwell, às correntes e ao deslocamento elétrico atravessando a superfície; aqui é simplesmente a integral de linha do campo ao longo do circuito.
Passo 5
Cálculo de \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}} e fluxo desse rotacional através de S; verificação do teorema de Stokes.\n
Primeiro note que \overrightarrow{\mathcal{B}}=t\,\mathbf{b}(x,y,z) onde \mathbf{b} é a parte espacial. Como t é constante em relação às derivadas espaciais, \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}}=t(\nabla\times\mathbf{b}). Calculemos \nabla\times\mathbf{b} onde
No disco simétrico \int_{S} y\,dA =0 por simetria ímpar em y. E \int_{S} dA= área do disco =\pi. Logo
\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA = t\bigl(0 - \pi\bigr) = -\pi t.
Comparando com o resultado do Passo 4, a circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} também foi -\pi t. Isso é exatamente o enunciado do teorema de Stokes:
Portanto o teorema de Stokes é satisfeito (boa sinal — consistência matemática).\n
Comentário físico final e incentivador: a igualdade mostra que a circulação do campo ao redor do contorno é a soma do “giro local” (o rotacional) sobre a área interior. Em eletromagnetismo real, relações similares ligam rotacional de campos a correntes ou variação de campo elétrico; aqui confirmamos que o cálculo está coerente.
Resposta
(a) \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=2\pi t \ \varepsilon=-\dfrac{\partial}{\partial t}\Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=-2\pi. \
(b) \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r}=-\pi t. \
(Significado: é a circulação do campo \overrightarrow{\mathcal{B}} ao longo do circuito, medida do “giro” total do campo em torno de \mathcal{C}.) \
(c) \displaystyle\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=-\pi t. \
O teorema de Stokes é satisfeito, pois \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=-\pi t.