Considere um campo magnético
\overrightarrow{\mathcal{B}}=\left[\left(z-x+x^{2}\right) \hat{\mathbf{i}}-(2 x y+x) \hat{\mathbf{j}}+(z+2) \hat{\mathbf{k}}\right] t,
onde t é o tempo e S é uma superfície circular definida no plano x y pelo contorno \mathcal{C} dado por x^{2}+y^{2}=1.
(a) Encontre o fluxo \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}} de \overrightarrow{\mathcal{B}} através da superfície S. Pode ser útil mudar de coordenadas. Há fem induzida no circuito \mathcal{C} ? E quanto vale?
(b) Encontre a circulação de \overrightarrow{\mathcal{B}} em torno do contorno \mathcal{C}. O que significa fisicamente?
(c) Calcule o fluxo de \nabla \times \overrightarrow{\mathcal{B}} através de S e verifique se o teorema de Stokes é satisfeito.
[Lembre-se que a força eletromotriz induzida por um campo magnético é igual a:
\left.\varepsilon=-\frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \overrightarrow{\mathcal{B}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d A .\right]

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético
\overrightarrow{\mathcal{B}}=\bigl[(z-x+x^{2})\hat{\mathbf{i}}-(2xy+x)\hat{\mathbf{j}}+(z+2)\hat{\mathbf{k}}\bigr]t,
onde t é o tempo. A superfície S é o disco do plano x y delimitado pelo contorno \mathcal{C} dado por x^{2}+y^{2}=1.\n
As perguntas são:
  1. (a) Calcular o fluxo \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}} de \overrightarrow{\mathcal{B}} através de S. Pergunta adicional: há fem induzida no circuito \mathcal{C}? Qual é o valor da fem? (Foi dada a fórmula \varepsilon=-\dfrac{\partial}{\partial t}\int_{S}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA.)
  2. (b) Calcular a circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} ao longo de \mathcal{C}. Pedir o significado físico dessa quantidade.
  3. (c) Calcular o fluxo de \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}} através de S e verificar o teorema de Stokes (comparar com a circulação do item (b)).\n
    Informações úteis já visíveis: a superfície S está no plano z=0; o contorno \mathcal{C} é o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1 no plano z=0.

Passo 2

Definição de fluxo e escolha da normal. O fluxo de um campo através de uma superfície S é
\Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=\int_{S}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA,
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal à superfície com orientação escolhida. Aqui é natural escolher a orientação “para cima”, i.e. \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}} (vetor normal ao plano xy apontando no sentido positivo de z).\n
Na superfície S temos z=0. Então, primeiro avaliamos a componente z de \overrightarrow{\mathcal{B}} em z=0. A componente z do campo é (z+2)t. Substituindo z=0 obtemos
\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=(z+2)t\big|_{z=0}=2t.
Portanto, sobre todo o disco a integranda é constante 2t. Agora escrevemos o elemento de área do disco em coordenadas polares: dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. Assim
\Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=\int_{S}2t\,dA=2t\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} r\,dr=\left.\tfrac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{2\pi} d\theta=2\pi.
Logo
\Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=2t\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\pi =2\pi t.

Passo 3

Cálculo da fem induzida usando a fórmula dada. A fem induzida no circuito \mathcal{C} é
\varepsilon=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{S}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA =-\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}.
Como \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=2\pi t, diferenciando em relação a t obtemos
\varepsilon=-\frac{d}{dt}(2\pi t)=-2\pi.
Portanto existe fem induzida não nula e de valor constante \varepsilon=-2\pi (sinal negativo indica orientação de acordo com a regra de Lenz relativa à escolha de \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}).\n
Comentário físico rápido e amigável: esse resultado significa que, como o fluxo magnético pelo disco cresce linearmente com t, há uma fem induzida constante que tende a se opor a esse aumento do fluxo (isso é a essência da lei de Faraday-Lenz).

Passo 4

Cálculo da circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r}. Vamos parametrizar o contorno \mathcal{C} (círculo unitário em z=0) por
x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta,\qquad z=0,\qquad 0\le\theta\le2\pi.
Então
d\overrightarrow{r}=(dx,dy,dz)=(-\sin\theta,\cos\theta,0)\,d\theta.
Avalie \overrightarrow{\mathcal{B}} ao longo de \mathcal{C} (substituindo z=0, x=\cos\theta, y=\sin\theta):
\overrightarrow{\mathcal{B}}(\theta)=t\bigl((-x+x^{2})\hat{\mathbf{i}}-(2xy+x)\hat{\mathbf{j}}+2\hat{\mathbf{k}}\bigr) = t\bigl((- \cos\theta+\cos^{2}\theta)\hat{\mathbf{i}}-(2\cos\theta\sin\theta+\cos\theta)\hat{\mathbf{j}}+2\hat{\mathbf{k}}\bigr).
Como d\overrightarrow{r} não tem componente z, só precisamos das componentes x e y de \overrightarrow{\mathcal{B}}. O produto escalar é
\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} = t\bigl((- \cos\theta+\cos^{2}\theta)(- \sin\theta) -(2\cos\theta\sin\theta+\cos\theta)(\cos\theta)\bigr)d\theta.
Simplificando a expressão dentro do parêntese passo a passo:
(-\cos\theta+\cos^{2}\theta)(- \sin\theta)= (\cos\theta-\cos^{2}\theta)\sin\theta,
(2\cos\theta\sin\theta+\cos\theta)\cos\theta=2\cos^{2}\theta\sin\theta+\cos^{2}\theta.
Subtraindo obtemos
\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} = t\bigl(\cos\theta\sin\theta-3\cos^{2}\theta\sin\theta-\cos^{2}\theta\bigr)d\theta.
Agora integramos de 0 a 2\pi:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0 (função periódica com média zero).
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta=0 (faça a substituição u=\cos\theta, é uma primitiva periódica que se repete).
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi (média de \cos^{2} é 1/2, multiplicando pelo comprimento 2\pi \pi).\n
    Assim a integral total é
\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} = t\bigl(0-3\cdot 0 - \pi\bigr) = -\pi t.
Interpretação física (simples e direta): a circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} mede o “giro total” do campo \overrightarrow{\mathcal{B}} ao longo do contorno \mathcal{C}. Em eletromagnetismo está relacionada, via a lei de Ampère-Maxwell, às correntes e ao deslocamento elétrico atravessando a superfície; aqui é simplesmente a integral de linha do campo ao longo do circuito.

Passo 5

Cálculo de \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}} e fluxo desse rotacional através de S; verificação do teorema de Stokes.\n
Primeiro note que \overrightarrow{\mathcal{B}}=t\,\mathbf{b}(x,y,z) onde \mathbf{b} é a parte espacial. Como t é constante em relação às derivadas espaciais, \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}}=t(\nabla\times\mathbf{b}). Calculemos \nabla\times\mathbf{b} onde
\mathbf{b}=\bigl(z-x+x^{2},\;-(2xy+x),\;z+2\bigr).
Usando a fórmula de rotacional:
(\nabla\times\mathbf{b})_{x}=\frac{\partial b_{z}}{\partial y}-\frac{\partial b_{y}}{\partial z}, \qquad (\nabla\times\mathbf{b})_{y}=\frac{\partial b_{x}}{\partial z}-\frac{\partial b_{z}}{\partial x}, \qquad (\nabla\times\mathbf{b})_{z}=\frac{\partial b_{y}}{\partial x}-\frac{\partial b_{x}}{\partial y}.
Calcule termo a termo:
  • \displaystyle\frac{\partial b_{z}}{\partial y}=\frac{\partial (z+2)}{\partial y}=0.
    \displaystyle\frac{\partial b_{y}}{\partial z}=\frac{\partial (-(2xy+x))}{\partial z}=0.
    Logo (\nabla\times\mathbf{b})_{x}=0.
  • \displaystyle\frac{\partial b_{x}}{\partial z}=\frac{\partial (z-x+x^{2})}{\partial z}=1.
    \displaystyle\frac{\partial b_{z}}{\partial x}=\frac{\partial (z+2)}{\partial x}=0.
    Logo (\nabla\times\mathbf{b})_{y}=1.
  • \displaystyle\frac{\partial b_{y}}{\partial x}=\frac{\partial (-(2xy+x))}{\partial x}=-(2y+1).
    \displaystyle\frac{\partial b_{x}}{\partial y}=\frac{\partial (z-x+x^{2})}{\partial y}=0.
    Logo (\nabla\times\mathbf{b})_{z}=-(2y+1).\n
    Portanto
\nabla\times\mathbf{b}=(0,\,1,\,-2y-1), \qquad \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}}=t(0,\,1,\,-2y-1).
Fluxo de \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}} através de S com \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}} é
\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA =\int_{S} t(-2y-1)\,dA = t\left(\int_{S} -2y\,dA + \int_{S} -1\,dA\right).
No disco simétrico \int_{S} y\,dA =0 por simetria ímpar em y. E \int_{S} dA= área do disco =\pi. Logo
\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA = t\bigl(0 - \pi\bigr) = -\pi t.
Comparando com o resultado do Passo 4, a circulação \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} também foi -\pi t. Isso é exatamente o enunciado do teorema de Stokes:
\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r} =\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA.
Portanto o teorema de Stokes é satisfeito (boa sinal — consistência matemática).\n
Comentário físico final e incentivador: a igualdade mostra que a circulação do campo ao redor do contorno é a soma do “giro local” (o rotacional) sobre a área interior. Em eletromagnetismo real, relações similares ligam rotacional de campos a correntes ou variação de campo elétrico; aqui confirmamos que o cálculo está coerente.

Resposta

(a) \Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=2\pi t \
\varepsilon=-\dfrac{\partial}{\partial t}\Phi_{\overrightarrow{\mathcal{B}}}=-2\pi. \
(b) \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r}=-\pi t. \
(Significado: é a circulação do campo \overrightarrow{\mathcal{B}} ao longo do circuito, medida do “giro” total do campo em torno de \mathcal{C}.) \
(c) \displaystyle\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=-\pi t. \
O teorema de Stokes é satisfeito, pois \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{S}(\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dA=-\pi t.

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