Um campo elétrico uniforme de magnitude 3000 \mathrm{~V} / \mathrm{m} existe dentro de uma certa região. Que volume de espaço contém uma energia total igual a 1,0 \times 10^{-7} J ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: o campo elétrico uniforme tem magnitude \,E=3000\\ \mathrm{V/m}\,.
  • Informação: a energia total contida no volume considerado é \,U=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{J}\,.
  • Pedido: determinar o volume de espaço \,V\, que contém essa energia.
Não vamos resolver ainda; só ficou explícito o que temos e o que se pede.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado com calma): energia armazenada em um campo elétrico por unidade de volume — chamada densidade de energia elétrica.
  • A densidade de energia elétrica num campo elétrico no vácuo é dada por
u=\tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2,
onde:
  • u é a densidade de energia (energia por volume) em \mathrm{J/m^3},
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante), com valor aproximado \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • E é a magnitude do campo elétrico em \mathrm{V/m}.
Curiosidade rápida sobre de onde vem essa fórmula (sem usar fórmulas avançadas): considera-se um capacitor de placas paralelas com capacitância \,C=\varepsilon_0 A/d\, e energia \,U=\tfrac{1}{2}CV^2. Como \,E=V/d\, e o volume entre as placas é \,Ad\,, ao dividir a energia pelo volume obtém-se exatamente \,u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\,. Assim a fórmula é bem fundamentada e aplicável a um campo uniforme.

Passo 3

Relacionando energia total e densidade de energia:
  • A energia total contida num volume V é
U = u\,V.
  • Substituindo u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 temos
U = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2\,V.
  • Isolando V em termos de U, \varepsilon_0 e E:
V = \frac{2U}{\varepsilon_0 E^2}.
Aqui cada símbolo já foi explicado: U é a energia total dada, \varepsilon_0 a constante, E o campo, e V o volume procurado.

Passo 4

Agora fazemos as contas com atenção, passo a passo, sem pular nada.
  • Primeiro calcule E^2:
E^2 = (3000\\ \mathrm{V/m})^2 = 3000^2\\ \mathrm{V^2/m^2} = 9\,000\,000\\ \mathrm{V^2/m^2}=9{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V^2/m^2}.
  • A constante \varepsilon_0 que usaremos é
\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Calcule o produto \varepsilon_0 E^2:
\varepsilon_0 E^2 = (8{,}85\times10^{-12})\times(9{,}0\times10^{6}) = 8{,}85\times9{,}0\times10^{-12+6} =79{,}65\times10^{-6} =7{,}965\times10^{-5}\\ \mathrm{(SI)}.
  • O numerador da expressão para V é 2U:
2U = 2\times(1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{J})=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.
  • Finalmente, calcule V:
V=\frac{2U}{\varepsilon_0 E^2} =\frac{2{,}0\times10^{-7}}{7{,}965\times10^{-5}} \approx 2{,}51\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}.
Se quiser ter uma ideia em litros (apenas para intuição): 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}, então
V\approx 2{,}51\\ \mathrm{L}.

Passo 5

Cheque rápido de unidades (só pra ficar seguro):
  • \varepsilon_0 tem unidade \mathrm{F/m} = \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)} mas, de forma prática, o produto \varepsilon_0 E^2 rende unidades \mathrm{J/m^3} quando multiplicado por \tfrac{1}{2}. Isolando V em U=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 V resulta V em \mathrm{m^3}. O resultado numérico está consistente com isso.

Resposta

V=2{,}51\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}

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