Um campo elétrico uniforme de magnitude
existe dentro de uma certa região. Que volume de espaço contém uma energia total igual a
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: o campo elétrico uniforme tem magnitude
. - Informação: a energia total contida no volume considerado é
. - Pedido: determinar o volume de espaço
que contém essa energia.
Não vamos resolver ainda; só ficou explícito o que temos e o que se pede.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado com calma): energia armazenada em um campo elétrico por unidade de volume — chamada densidade de energia elétrica.
- A densidade de energia elétrica num campo elétrico no vácuo é dada por
onde:
-
é a densidade de energia (energia por volume) em , -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante), com valor aproximado , -
é a magnitude do campo elétrico em .
Curiosidade rápida sobre de onde vem essa fórmula (sem usar fórmulas avançadas): considera-se um capacitor de placas paralelas com capacitância
e energia
. Como
e o volume entre as placas é
, ao dividir a energia pelo volume obtém-se exatamente
. Assim a fórmula é bem fundamentada e aplicável a um campo uniforme.
Passo 3
Relacionando energia total e densidade de energia:
- A energia total contida num volume
é
- Substituindo
temos
- Isolando
em termos de , e :
Aqui cada símbolo já foi explicado:
é a energia total dada,
a constante,
o campo, e
o volume procurado.
Passo 4
Agora fazemos as contas com atenção, passo a passo, sem pular nada.
- Primeiro calcule
:
- A constante
que usaremos é
- Calcule o produto
:
- O numerador da expressão para
é :
- Finalmente, calcule
:
Se quiser ter uma ideia em litros (apenas para intuição):
, então
Passo 5
Cheque rápido de unidades (só pra ficar seguro):
-
tem unidade mas, de forma prática, o produto rende unidades quando multiplicado por . Isolando em resulta em . O resultado numérico está consistente com isso.