Um determinado capacitor é submetido a um potencial V. Havendo um aumento de 10 \% na energia armazenada, qual a porcentagem de aumento no potencial V ?

Passo 1

O enunciado dá que um capacitor, inicialmente submetido a um potencial V, tem sua energia armazenada aumentada em 10\%. A tarefa é determinar qual é a porcentagem de aumento no potencial V.
Informações relevantes:
  • A energia armazenada no capacitor aumenta em 10\%, ou seja, U_{\text{novo}}=1,1\,U_{\text{antigo}}.
  • O objetivo é achar a variação percentual de V, isto é, \dfrac{V_{\text{novo}}-V_{\text{antigo}}}{V_{\text{antigo}}}\times100\%.

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona a energia armazenada com o potencial: para um capacitor de capacitância C submetido a uma tensão V, a energia armazenada é
U=\tfrac{1}{2}C V^{2},
onde:
  • U é a energia armazenada,
  • C é a capacitância (assumida constante),
  • V é o potencial (diferença de potencial) aplicado.
Explicação curta: essa fórmula vem da integração da carga em função da tensão quando se carrega o capacitor; o importante aqui é que U é proporcional a V^{2}.

Passo 3

Escrever a relação entre energias antes e depois do aumento usando a fórmula:
U_{\text{novo}}=\tfrac{1}{2}C V_{\text{novo}}^{2},\qquad U_{\text{antigo}}=\tfrac{1}{2}C V_{\text{antigo}}^{2}.
Como foi dado U_{\text{novo}}=1,1\,U_{\text{antigo}}, igualamos:
\tfrac{1}{2}C V_{\text{novo}}^{2}=1,1\left(\tfrac{1}{2}C V_{\text{antigo}}^{2}\right).

Passo 4

Simplificar a equação cancelando o fator \tfrac{1}{2}C (que é o mesmo antes e depois, pois C não mudou):
V_{\text{novo}}^{2}=1,1\,V_{\text{antigo}}^{2}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (escolhendo a raiz positiva porque tensões aqui são positivas),
V_{\text{novo}}=\sqrt{1,1}\;V_{\text{antigo}}.

Passo 5

Calcular a variação percentual de V:
\text{aumento percentual}=\left(\frac{V_{\text{novo}}-V_{\text{antigo}}}{V_{\text{antigo}}}\right)\times100\% =\bigl(\sqrt{1,1}-1\bigr)\times100\%.

Passo 6

Aproximar \sqrt{1,1} sem calculadora usando a expansão para \sqrt{1+x} com x=0,1:
\sqrt{1+x}\approx 1+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^{2}}{8}+\cdots.
Para x=0,1 isso dá
\sqrt{1,1}\approx 1+0,05-0,00125=1,04875.
Logo o aumento percentual aproximado é
(1,04875-1)\times100\%=0,04875\times100\%=4,875\%\approx4,88\%.

Resposta

4,88\%

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