O campo de força que age sobre um oscilador linear bidimensional pode ser descrito por
\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{x}} k x-\hat{\mathbf{y}} k y .
Compare o trabalho realizado movimentando-se contra esse campo de força entre (1,1) a (4,4) pelos seguintes trajetos em linha reta:
(a) (1,1) \rightarrow(4,1) \rightarrow(4,4)
Isso significa avaliar
-\int_{(1,1)}^{(4,4)} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
ao longo de cada trajeto.

Passo 1

O enunciado dá o campo de força
\mathbf{F} = -\hat{\mathbf{x}}\,k\,x \;-\;\hat{\mathbf{y}}\,k\,y
e pede o trabalho realizado movimentando-se contra essa força de (1,1) até (4,4) seguindo o trajeto em dois trechos em linha reta: primeiro de (1,1) a (4,1) e depois de (4,1) a (4,4). Para cada trecho precisamos avaliar
-\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
e depois somar os resultados.

Passo 2

No trecho de (1,1) a (4,1) temos y=1 constante e x varia de 1 a 4. Uma parametrização simples é
\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\mathbf{x}} + 1\,\hat{\mathbf{y}}, \quad 1\le t\le 4,
então
d\mathbf{r} = dt\,\hat{\mathbf{x}}, \qquad \mathbf{F}(t) = -k\,t\,\hat{\mathbf{x}} - k\cdot 1\,\hat{\mathbf{y}}.
O produto escalar é \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = (-k\,t)\,dt. Logo o trabalho contra a força nesse trecho é
-\int_{(1,1)}^{(4,1)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{t=1}^{4}(-k\,t)\,dt = \int_{1}^{4}k\,t\,dt = \frac{k\,t^{2}}{2}\Big|_{1}^{4} = \frac{k}{2}\,(16-1) = \tfrac{15}{2}\,k.

Passo 3

No trecho de (4,1) a (4,4) temos x=4 constante e y varia de 1 a 4. Parametrizamos
\mathbf{r}(s) = 4\,\hat{\mathbf{x}} + s\,\hat{\mathbf{y}}, \quad 1\le s\le 4,
de modo que
d\mathbf{r} = ds\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad \mathbf{F}(s) = -k\cdot 4\,\hat{\mathbf{x}} - k\,s\,\hat{\mathbf{y}}.
Então \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = (-k\,s)\,ds e o trabalho é
-\int_{(4,1)}^{(4,4)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{s=1}^{4}(-k\,s)\,ds = \int_{1}^{4}k\,s\,ds = \frac{k\,s^{2}}{2}\Big|_{1}^{4} = \frac{k}{2}\,(16-1) = \tfrac{15}{2}\,k.

Passo 4

Somando os dois trechos, o trabalho total contra a força é
\tfrac{15}{2}\,k \;+\; \tfrac{15}{2}\,k \;=\; 15\,k.

Resposta

O trabalho realizado movimentando-se contra o campo de força ao longo do trajeto (1,1)\to(4,1)\to(4,4) é 15\,k.

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