1.9.8 \varphi é um escalar que satisfaz a equação de Laplace, \nabla^{2} \varphi=0. Mostre que \nabla \varphi é solenoidal e também irrotacional.

Passo 1

O enunciado dá uma função escalar \varphi que satisfaz a equação de Laplace
\nabla^{2}\varphi = 0.
Queremos mostrar que o campo vetorial \nabla\varphi
é
  1. solenoidal (divergência nula) e
  2. irrotacional (curl nulo).
    Para isso usaremos as identidades clássicas do cálculo vetorial:
  • \nabla\cdot(\nabla\psi)=\nabla^{2}\psi,
  • \nabla\times(\nabla\psi)=\mathbf{0}.

Passo 2

Mostrando que \nabla\varphi é solenoidal.
Por definição de divergência de um gradiente, temos
\nabla\cdot(\nabla\varphi) =\nabla^{2}\varphi.
Como \varphi satisfaz \nabla^{2}\varphi=0, segue
\nabla\cdot(\nabla\varphi)=0,
ou seja, \nabla\varphi é um campo de divergência zero (solenoidal).

Passo 3

Mostrando que \nabla\varphi é irrotacional.
Pela identidade do curl de um gradiente, cada componente do vetor \nabla\times(\nabla\varphi) é dada por diferenças de derivadas mistas que se anulam. Por exemplo, a componente x é
(\nabla\times\nabla\varphi)_x =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\Bigr) =0
pois as derivadas parciais comutam. As componentes y e z têm argumento análogo, logo
\nabla\times(\nabla\varphi)=\mathbf{0},
isto é, \nabla\varphi é irrotacional.

Resposta

\nabla\varphi é simultaneamente solenoidal \nabla\cdot\nabla\varphi=0 e irrotacional \nabla\times\nabla\varphi=\mathbf{0}.

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