1.9.8
é um escalar que satisfaz a equação de Laplace,
. Mostre que
é solenoidal e também irrotacional.
Passo 1
O enunciado dá uma função escalar
que satisfaz a equação de Laplace
Queremos mostrar que o campo vetorial
é
é
- solenoidal (divergência nula) e
- irrotacional (curl nulo).
Para isso usaremos as identidades clássicas do cálculo vetorial:
-
, -
.
Passo 2
Mostrando que
é solenoidal.
Por definição de divergência de um gradiente, temos
Por definição de divergência de um gradiente, temos
Como
satisfaz
, segue
ou seja,
é um campo de divergência zero (solenoidal).
Passo 3
Mostrando que
é irrotacional.
Pela identidade do curl de um gradiente, cada componente do vetor é dada por diferenças de derivadas mistas que se anulam. Por exemplo, a componente
é
Pela identidade do curl de um gradiente, cada componente do vetor
pois as derivadas parciais comutam. As componentes
e
têm argumento análogo, logo
isto é,
é irrotacional.