O campo de força que age sobre um oscilador linear bidimensional pode ser descrito por
\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{x}} k x-\hat{\mathbf{y}} k y .
Compare o trabalho realizado movimentando-se contra esse campo de força entre (1,1) a (4,4) pelos seguintes trajetos em linha reta:
(b) (1,1) \rightarrow(1,4) \rightarrow(4,4)
Isso significa avaliar
-\int_{(1,1)}^{(4,4)} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
ao longo de cada trajeto.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado movimentando-se contra o campo \mathbf{F}=-\hat{\mathbf{x}}\,k\,x-\hat{\mathbf{y}}\,k\,y
do ponto (1,1) até (4,4) ao longo do caminho quebrado (1,1)\to(1,4)\to(4,4).
Como \mathbf{F} é conservativo, sabemos que
-\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\;\Delta U
com
U(x,y)=\tfrac12\,k\bigl(x^2+y^2\bigr),
mas aqui faremos o cálculo direto em duas etapas.

Passo 2

No segmento de (1,1) até (1,4) temos x=1 (logo dx=0) e y varia de 1 a 4.
Então
-\int_{(1,1)}^{(1,4)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{y=1}^{4}k\,y\,dy =\Bigl[\tfrac{k\,y^2}{2}\Bigr]_{1}^{4} =\tfrac{k}{2}(16-1) =\tfrac{15\,k}{2}.

Passo 3

No segmento de (1,4) até (4,4) temos y=4 (logo dy=0) e x varia de 1 a 4.
Assim
-\int_{(1,4)}^{(4,4)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{x=1}^{4}k\,x\,dx =\Bigl[\tfrac{k\,x^2}{2}\Bigr]_{1}^{4} =\tfrac{k}{2}(16-1) =\tfrac{15\,k}{2}.

Passo 4

Somando as duas contribuições, o trabalho total é
W =\tfrac{15\,k}{2}+\tfrac{15\,k}{2} =15\,k.
Isso confirma também que o resultado independe do caminho e equivale a \Delta U=U(4,4)-U(1,1).

Resposta

15\,k

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