O campo de força que age sobre um oscilador linear bidimensional pode ser descrito por
\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{x}} k x-\hat{\mathbf{y}} k y .
Compare o trabalho realizado movimentando-se contra esse campo de força entre (1,1) a (4,4) pelos seguintes trajetos em linha reta:
\text{(c)} (1,1) \rightarrow(4,4) ao longo de x=y.
Isso significa avaliar
-\int_{(1,1)}^{(4,4)} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
ao longo de cada trajeto.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de força
\mathbf{F} = -\hat{\mathbf{x}}\,k\,x \;-\;\hat{\mathbf{y}}\,k\,y
e pede para calcular o trabalho realizado ao mover-se contra esse campo de força de (1,1) a (4,4) ao longo da reta x=y. Vamos usar a definição
W \;=\; -\int_{(1,1)}^{(4,4)} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
e mostrar como parametrizar esse caminho.

Passo 2

Como \mathbf{F}=-k\,x\,\hat{\mathbf{x}}-k\,y\,\hat{\mathbf{y}}, temos
-\mathbf{F} = k\,x\,\hat{\mathbf{x}} \;+\; k\,y\,\hat{\mathbf{y}}
então o integrando fica
-\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; k\,x\,dx \;+\; k\,y\,dy.

Passo 3

Para o trajeto x=y de (1,1) a (4,4), parametrizamos por
x(t)=t,\quad y(t)=t,\quad t\in[1,4],
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dx = dt,\quad dy = dt.

Passo 4

Substituindo na integral:
W = \int_{t=1}^{4}\bigl(k\,x\,dx + k\,y\,dy\bigr) = \int_{1}^{4}\bigl(k\,t\,dt + k\,t\,dt\bigr) = 2k\int_{1}^{4} t\,dt = 2k\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{1}^{4} = k\bigl(4^{2}-1^{2}\bigr) = 15\,k.

Resposta

O trabalho ao mover-se contra o campo ao longo de x=y de (1,1) a (4,4) é
15\,k.

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