Ache o trabalho realizado para percorrer um círculo unitário no plano x y :
(b) no sentido horário de 0 a -\pi, realizando trabalho contra um campo de força dado por
\mathbf{F}=\frac{-\hat{\mathbf{x}} y}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\hat{\mathbf{y}} x}{x^{2}+y^{2}}
Note que o trabalho realizado depende do trajeto.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado contra o campo de força
\mathbf{F}(x,y)=\Bigl(-\tfrac{y}{x^2+y^2},\;\tfrac{x}{x^2+y^2}\Bigr)
ao percorrermos o arco de círculo unitário no plano xy de \theta=0 até \theta=-\pi (sentido horário).
Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial não-conservativo. Vamos usar parametrização em coordenadas polares.

Passo 2

Parametrizamos o arco do círculo unitário por
x(\theta)=\cos\theta,\quad y(\theta)=\sin\theta,
com \theta variando de 0 a -\pi. Então
\mathrm{d}\mathbf{r}=(x'(\theta),y'(\theta))\,\mathrm{d}\theta =(-\sin\theta,\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

No círculo unitário temos x^2+y^2=1, logo
\mathbf{F}(\theta) =\bigl(-\sin\theta,\;\cos\theta\bigr).
O produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} é
(-\sin\theta,\cos\theta)\cdot(-\sin\theta,\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta =(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\,\mathrm{d}\theta =\mathrm{d}\theta.

Passo 4

O trabalho feito pelo campo é
W_{\mathrm{por}}=\int_{0}^{-\,\pi}\mathrm{d}\theta =\bigl[\theta\bigr]_{0}^{-\,\pi} =-\pi.
Como queremos o trabalho contra o campo, invertemos o sinal:
W_{\mathrm{contra}}=-W_{\mathrm{por}}=\pi.

Resposta

\pi

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