Um campo magnético é dado por
(a) Verifique se este campo magnético é fisicamente aceitável, ou seja, se é solenoidal.
(b) Considere a superfície
de cubo unitário com vértices em
e (
). Determine o fluxo magnético total através de
. O resultado obtido concorda com o que você achou no item (a)? Obs.: qualquer método de cálculo pode ser utilizado.
(b) Considere a superfície
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético
e pede duas coisas:
(a) Verificar se o campo é fisicamente aceitável, ou seja, se é solenoidal (isto é, se tem divergência nula).
(b) Para a superfície
que é o cubo unitário com vértices em
e
, determinar o fluxo magnético total através de
. Pergunta adicional: o resultado concorda com o item (a)?
Informações relevantes dadas: a expressão analítica de
e o domínio geométrico (cubo unitário com faces em
,
,
). Nada mais é pedido no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que é ser “solenoidal” e como verificar: para um campo vetorial
definido em uma região do espaço, dizemos que ele é solenoidal quando sua divergência é zero em toda a região. A divergência é uma operação que pega um campo vetorial e produz uma função escalar, definida por
onde
são as componentes em
. Físicamente, divergência mede a “taxa de saída” de fluxo por unidade de volume: se
não há “fontes” nem “sumidouros” para o campo (isso é o caso dos campos magnéticos reais: não existem monopolos magnéticos).
Agora aplicamos a definição ao campo dado. Temos
,
,
. Calculando as derivadas parciais:
Somando,
Conclusão deste passo: a divergência é identicamente zero, logo o campo é solenoidal (fisicamente aceitável como campo magnético).
Passo 3
Agora vamos usar o que aprendemos para calcular o fluxo total através do cubo. Primeiro, a definição do fluxo através de uma superfície fechada
é
onde
é o versor normal unitário apontando para fora do volume. Uma ferramenta poderosa é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que para um campo suficientemente suave
onde
é o volume delimitado por
. Vou aplicar esse teorema porque é o caminho mais curto e elegante: já calculamos
, então
Aqui
é o cubo unitário
. Portanto o fluxo total através de
é zero. Isto já responde a (b) rapidamente: o fluxo é zero, e isso é coerente com o resultado de (a), pois para campos solenoidais a integral de fluxo sobre qualquer superfície fechada é zero.
Passo 4
Para solidificar a compreensão (e porque em prova o examinador às vezes gosta de ver cálculo direto), vamos calcular o fluxo pelo método direto: somando o fluxo nas seis faces do cubo. Cada face é um retângulo unitário; usamos
.
Face
(face direita):
. Em
,
então
. O fluxo é
Face
(face esquerda):
. Em
,
assim
. Logo
Face
(face frontal):
. Em
,
então
. O fluxo é
Face
(face traseira):
. Em
,
e portanto
Face
(face superior):
. Em
,
assim
. O fluxo é
Face
(face inferior):
. Em
,
, então
Somando todas as contribuições:
Isso confere com o resultado obtido pelo Teorema da Divergência.
Passo 5
Interpretação final e motivação para a prova: vimos duas maneiras consistentes de chegar ao mesmo resultado. O cálculo da divergência é rápido e frequentemente suficiente em prova: se
numa região que contém o volume, então qualquer fluxo através de uma superfície fechada nessa região é zero — é uma ferramenta poderosa e econômica. Se precisar, você sempre pode verificar calculando face a face (é mecânico e serve como checagem).
Resposta
(a) Sim.
, portanto o campo é solenoidal.
(b) Fluxo total
. Sim, o resultado concorda com (a).