Um campo magnético é dado por
\overrightarrow{\mathcal{B}}=2 x \hat{\mathbf{i}}+3 y \hat{\mathbf{j}}-5 z \hat{\mathbf{k}} .
(a) Verifique se este campo magnético é fisicamente aceitável, ou seja, se é solenoidal.
(b) Considere a superfície S de cubo unitário com vértices em (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) e ( 1,1,1 ). Determine o fluxo magnético total através de S. O resultado obtido concorda com o que você achou no item (a)? Obs.: qualquer método de cálculo pode ser utilizado.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético
\overrightarrow{\mathcal{B}}=2 x \hat{\mathbf{i}}+3 y \hat{\mathbf{j}}-5 z \hat{\mathbf{k}}
e pede duas coisas:
(a) Verificar se o campo é fisicamente aceitável, ou seja, se é solenoidal (isto é, se tem divergência nula).
(b) Para a superfície S que é o cubo unitário com vértices em (0,0,0) e (1,1,1), determinar o fluxo magnético total através de S. Pergunta adicional: o resultado concorda com o item (a)?
Informações relevantes dadas: a expressão analítica de \overrightarrow{\mathcal{B}} e o domínio geométrico (cubo unitário com faces em x=0,1, y=0,1, z=0,1). Nada mais é pedido no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que é ser “solenoidal” e como verificar: para um campo vetorial \overrightarrow{\mathcal{B}}(x,y,z) definido em uma região do espaço, dizemos que ele é solenoidal quando sua divergência é zero em toda a região. A divergência é uma operação que pega um campo vetorial e produz uma função escalar, definida por
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=\frac{\partial \mathcal{B}_x}{\partial x}+\frac{\partial \mathcal{B}_y}{\partial y}+\frac{\partial \mathcal{B}_z}{\partial z},
onde \mathcal{B}_x,\mathcal{B}_y,\mathcal{B}_z são as componentes em \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}. Físicamente, divergência mede a “taxa de saída” de fluxo por unidade de volume: se \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0 não há “fontes” nem “sumidouros” para o campo (isso é o caso dos campos magnéticos reais: não existem monopolos magnéticos).
Agora aplicamos a definição ao campo dado. Temos \mathcal{B}_x=2x, \mathcal{B}_y=3y, \mathcal{B}_z=-5z. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial \mathcal{B}_x}{\partial x}=\frac{\partial (2x)}{\partial x}=2,
\frac{\partial \mathcal{B}_y}{\partial y}=\frac{\partial (3y)}{\partial y}=3,
\frac{\partial \mathcal{B}_z}{\partial z}=\frac{\partial (-5z)}{\partial z}=-5.
Somando,
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=2+3-5=0.
Conclusão deste passo: a divergência é identicamente zero, logo o campo é solenoidal (fisicamente aceitável como campo magnético).

Passo 3

Agora vamos usar o que aprendemos para calcular o fluxo total através do cubo. Primeiro, a definição do fluxo através de uma superfície fechada S é
\Phi=\iint_{S}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS,
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal unitário apontando para fora do volume. Uma ferramenta poderosa é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que para um campo suficientemente suave
\iint_{S}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}\,dV,
onde V é o volume delimitado por S. Vou aplicar esse teorema porque é o caminho mais curto e elegante: já calculamos \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0, então
\Phi=\iiint_{V} 0 \, dV = 0.
Aqui V é o cubo unitário \{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}. Portanto o fluxo total através de S é zero. Isto já responde a (b) rapidamente: o fluxo é zero, e isso é coerente com o resultado de (a), pois para campos solenoidais a integral de fluxo sobre qualquer superfície fechada é zero.

Passo 4

Para solidificar a compreensão (e porque em prova o examinador às vezes gosta de ver cálculo direto), vamos calcular o fluxo pelo método direto: somando o fluxo nas seis faces do cubo. Cada face é um retângulo unitário; usamos \Phi=\sum_{faces}\iint_{face}\overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS.
Face x=1 (face direita): \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{i}}. Em x=1,
\overrightarrow{\mathcal{B}}(1,y,z)=2\cdot1\,\hat{\mathbf{i}}+3y\,\hat{\mathbf{j}}-5z\,\hat{\mathbf{k}},
então \overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=2. O fluxo é
\Phi_{x=1}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 2\,dy\,dz = 2\cdot 1\cdot 1 = 2.
Face x=0 (face esquerda): \hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{i}}. Em x=0,
\overrightarrow{\mathcal{B}}(0,y,z)=0\,\hat{\mathbf{i}}+3y\,\hat{\mathbf{j}}-5z\,\hat{\mathbf{k}},
assim \overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot(-\hat{\mathbf{i}})=0. Logo
\Phi_{x=0}=0.
Face y=1 (face frontal): \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{j}}. Em y=1,
\overrightarrow{\mathcal{B}}(x,1,z)=2x\,\hat{\mathbf{i}}+3\cdot1\,\hat{\mathbf{j}}-5z\,\hat{\mathbf{k}},
então \overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=3. O fluxo é
\Phi_{y=1}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 3\,dx\,dz = 3\cdot 1\cdot 1 = 3.
Face y=0 (face traseira): \hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{j}}. Em y=0, \mathcal{B}_y=0 e portanto
\Phi_{y=0}=0.
Face z=1 (face superior): \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}. Em z=1,
\overrightarrow{\mathcal{B}}(x,y,1)=2x\,\hat{\mathbf{i}}+3y\,\hat{\mathbf{j}}-5\cdot1\,\hat{\mathbf{k}},
assim \overrightarrow{\mathcal{B}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=-5. O fluxo é
\Phi_{z=1}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (-5)\,dx\,dy = -5\cdot 1\cdot 1 = -5.
Face z=0 (face inferior): \hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}. Em z=0, \mathcal{B}_z=0, então
\Phi_{z=0}=0.
Somando todas as contribuições:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{x=1}+\Phi_{x=0}+\Phi_{y=1}+\Phi_{y=0}+\Phi_{z=1}+\Phi_{z=0}=2+0+3+0-5+0=0.
Isso confere com o resultado obtido pelo Teorema da Divergência.

Passo 5

Interpretação final e motivação para a prova: vimos duas maneiras consistentes de chegar ao mesmo resultado. O cálculo da divergência é rápido e frequentemente suficiente em prova: se \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0 numa região que contém o volume, então qualquer fluxo através de uma superfície fechada nessa região é zero — é uma ferramenta poderosa e econômica. Se precisar, você sempre pode verificar calculando face a face (é mecânico e serve como checagem).

Resposta

(a) Sim. \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=2+3-5=0, portanto o campo é solenoidal.
(b) Fluxo total =0. Sim, o resultado concorda com (a).

Exercícios relacionados